Lic. Elsie Hernández S.

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Integrales de las funciones trigonométricas

Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas.

Daremos a continuación la lista de las fórmulas:
   
1. $\displaystyle {\int a\;cos\; u\;du = a\;sen\; u\; + C}$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$ por lo que
  $\displaystyle {\int a\;f'(x)\;cos\;f(x) dx = a\; sen\;f(x) + C}$

 Ejemplos

a. $\displaystyle {\int 2x\;cos\;x^{2}dx = sen\;x^{2} + C}$
  Note que $u=x^{2}\; y\; du=2x\;dx$
   
b.
  Note que $u=\sqrt{x}$ y $du=\displaystyle { \frac{dx}{2\sqrt{x}}}$
   
c. $\displaystyle {\int 5\;cos\;4x\;dx =\frac{5}{4}\int 4\;cos\;4x\;dx= \frac{5}{4}\;sen\;4x\;+C\;}$
   
d. $\displaystyle {\int e^{x}cos\;(2\;e^{x}+1)\;dx}$     Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int \frac{cos(ln\;x)}{x}\;dx}$             Ejercicio para el estudiante
               
2. $\displaystyle {\int a\;sen\; u\;du = -a\;cos\; u\; + C}$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$ por lo que

 

 $\displaystyle {\int a\;f'(x)\; sen\;f(x) dx = -a\;cos\; f(x)\; + C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int 3\;sen\;5x\;dx = \frac{3}{5}\int 5\;sen\;5x\;dx=\frac{-3}{5}\;cos\;5x\;+C}$
   
b. $\displaystyle {\int x^{2}\;sen\;(x^{3}+4)\;dx}$
  Note que $u=x^{3}+4$ y $du=3x^{2}\;dx$
  $\displaystyle {= \frac{1}{3} \int 3x^{2}\;sen\;(x^{3}+4)\;dx}$

 

 $\displaystyle {= \frac{-1}{3}\;cos\;(x^{3}+4)\;+ C}$
c. $\displaystyle {\int 4x\;sen\;(4-x^{2})\;dx}$
  Note que 
  $\displaystyle {= \frac{4}{-2}\;\int -2x\;sen\;(4-x^{2})\;dx}$    $u=4-x^{2}$ y  $du=-2x\;dx$
  $\displaystyle {= -2\;(-cos\;(4-x^{2}))+C}$

 

 $\displaystyle {= 2\;cos\;(4-x^{2})+C}$
   

d.

 $\displaystyle {\int \frac{cos\;6x}{sen(6x)+4}\;dx}$     Ejercicio para el estudiante

e.

 $\displaystyle {\int \frac{sen\;(4e^{-x})}{e^{x}}\;dx}$      Ejercicio para el estudiante
3. $\displaystyle {\int a\;tan\;u\;du = a\;\int \frac{sen\;u}{cos\;u}\;du = -a\;\int \frac{-sen\;u}{cos\;u}du}$
  $\displaystyle {= -a\;ln\;\vert cos\;x\vert+C}$
  Válido para $\{u\in I\!\!R/u \neq \frac{\Pi}{2}+ n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que

 

 $\displaystyle {\int a\;f'(x)\;tan\;f(x)\;dx = -a\;ln\;\vert cos\;f(x)\vert + C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int tan\;6x\;dx = \frac{1}{6}\int 6\;tan\;6x\;dx = \frac{-1}{6}\;ln\;\vert cos\;6x\vert + C}$
   
b. $\displaystyle {\int e^{x}\;tan\;e^{x}\;dx =-ln\;\vert cos\;e^{x}\vert + C}$
  Note que $u=e^{x},\; du=e^{x} \;dx$
   
c. $\displaystyle {\int \frac{tan \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\;dx}$       Ejercicio para el estudiante
   
d. $\displaystyle {\int \frac{tan(e^{sen\;x})}{sec\;x}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
   
4. $\displaystyle {\int a\;cot\;u\;du = a\;\int \frac{cos\;u}{sen\;u}\;du = a\;ln\;\vert sen\;u\vert + C}$
  Válido para $\{u\in I\!\!R/u \neq n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que
  $\displaystyle {\int a\;f'(x)\;cot\;f(x)\;dx = a\;ln\;\vert sen\;f(x)\vert + C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int x\;cot\;(x^{2}+4)\;dx}$
  $\displaystyle {= \frac{1}{2}\;\int 2x\;cot\;(x^{2}+4)\;dx}$

 

 $\displaystyle {= \frac{1}{2}\cdot ln\;\vert sen\;(x^{2}+4)\vert\;+ C}$
   

b.

 $\displaystyle {\int \frac{cot\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\;dx = 2\int \frac{1}{2\;\sqrt{x}}\;cot\;\sqrt{x}\;dx = 2\;ln\;\vert sen\sqrt{x}\vert + C}$
   

c.

 $\displaystyle {\int \frac{cot(sen\;x)}{sec\;x}\;dx}$    Ejercicio para el estudiante
   

d.

 $\displaystyle {\int \frac{csc^{2}2x}{cot\;2x+3}\;dx}$     Ejercicio para el estudiante
   
5. $\displaystyle {\int a\;sec^{2}\;u\;du = a\;tan\;u + C}$
  Válida para $\{u\in I\!\!R/u \neq \frac{\Pi}{2}+ n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que

 

 $\displaystyle {\int a\;f'(x)\;sec^{2}\;f(x)\;dx = a\;tan\;f(x)+ C}$

Ejemplos

a.

 $\displaystyle {\int 2\;sec^{2}\;3x\;dx = \frac{2}{3} \int 3\;sec^{2}\;3x\;dx = \frac{2}{3}\;tan\;3x + C}$
   
b. $\displaystyle {\int \frac{sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\;dx = - \int ... ...{2}}\;sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)\;dx = -tan\;\left(\frac{1}{x}\right) + C}$
   
c. $\displaystyle {\int \frac{sec^{2}(ln\;x)}{x}\;dx =tan\;(ln\;x) + C}$
  Si $\displaystyle {u=ln\;x,\;\;du=\frac{1}{x}\;dx}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{dx}{cos^{2}\;(2x+1)}\;dx}$   Ejercicio para el estudiante
   

e.

 $\displaystyle {\int \frac{sec^{2}\;(tan\;x)}{cos^{2}\;x}\;dx}$     Ejercicio para el estudiante
   
6. $\displaystyle {\int a\;csc^{2}\;u\;du = -a\;cot\;u + C}$
  Esta fórmula tiene sentido si $\{u\in I\!\!R/u \neq n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$ y por tanto

 

Ejemplos

a.

 $\displaystyle {\int 2x\;csc^{2}\;(5x^{2})\;dx = \frac{1}{5} \int 10\;csc^{2}\;(5x^{2})\;dx = \frac{-1}{5}\;cot\;(5x^{2}) + C}$
   
b. $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\;sen^{2}(ln\;x)} = \int \frac{1}{x}\;csc^{2}\;(ln\;x)\;dx}$
  $\displaystyle {= -cot\;(ln\;x) + C}$

 

  
c. $\displaystyle {\int \frac{csc^{2}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\;dx = 2 \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\;csc^{2}\sqrt{x}\;dx = -2\;cot\;\sqrt{x} + C}$

 

 Note que si $\displaystyle {u=\sqrt{x}}$ entonces $\displaystyle {du=\frac{dx}{2\;\sqrt{x}}}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{csc^{2}(e^{-x})}{e^{x}}\;dx}$                             Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int (3x^{2}+x)\; csc^{2}(2x^{3}+x^{2}+1)\;dx}$   Ejercicio para el estudiante
   
7. $\displaystyle {\int sec\;u\;tan\;u\;du = sec\;u + C}$
  Esta igualdad es válida para $\{u\in I\!\!R/u \neq \frac{\Pi}{2}+ n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que
  $\displaystyle {\int f'(x)\;sec\;f(x)\;tan\;f(x)\;dx = sec\;f(x)+ C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int sec\;(5x)\;tan\;(5x)\;dx = \frac{1}{5}\int sec\;(5x)\;tan\;(5x)\;dx}$
  $\displaystyle {= \frac{1}{5}\;sec\;(5x) + C}$
   
b. $\displaystyle {\int e^{x}\;sec\;e^{x}\;tan\;e^{x}\;dx = sec\;e^{x} + C}$
   
c.
  $\displaystyle {= \frac{1}{2}\int 2x\;sec\;x^{2}\;tan\;x^{2}\;dx = \frac{1}{2}\;sec\;x^{2} + C}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{sec\;3x}{cot\;3x}\;dx}$         Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int \frac{tan\;\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}\;cos\;\left(\frac{1}{x} \right)}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
   
8. $\displaystyle {\int csc\;u\;cot\;u\;du = -csc\;u + C}$
  Esta igualdad vale para $\{u\in I\!\!R/u \neq n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que
  $\displaystyle {\int f'(x)\;csc\;f(x)\;cot\;f(x)\;dx = -csc\;f(x)+ C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int x\;csc\;(4x^{2})\;cot\;(4x^{2})\;dx = \frac{1}{8} \int 8x\;csc\;(4x^{2})\;cot\;(4x^{2})\;dx}$
  $\displaystyle {= \frac{1}{8}(-csc\;4x^{2}) + C = \frac{-csc\;4x^{2}}{8} + C}$
   
b. $\displaystyle {\int \frac{csc\;3x}{tan\;3x}\;dx = \frac{1}{3} \int 3\;csc\;3x\;cot\;3x\;dx = \frac{-1}{3}\;csc\;3x + C}$
   
c. $\displaystyle {\int \frac{e^{x}\;cos\;e^{x}}{sen^{2}\;e^{x}}\;dx = \int e^{x}\f... ...s\;e^{x}\;dx}{sen\;e^{x}\;sen\;e^{x}} = \int e^{x}\;cot\;e^{x}\;csc\;e^{x}\;dx}$
  $\displaystyle {= -csc\;e^{x} + C}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\;sen^{2}\;(ln\;x)\;sen(ln\;x)}}$    Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int csc\;x\;(csc\;x\;+\;cot\;x)\;dx}$   Ejercicio para el estudiante
   
9. Calculemos ahora $\int sec\;u\;du$. Para ello se multiplica el  la
  numerador y el denominador por la expresión $sec\;u + tan\;u$ en
  forma siguiente:
   
  $\displaystyle {\int sec\;u\;du = \int \frac{sec\;u (sec\;u + tan\;u)\;du}{sec\;u + tan\;u} + C}$
  $\displaystyle {=\int \frac{sec^{2}\;u + sec\;u\;tan\;u\;du}{sec\;u + tan\;u}= ln\;\vert sec\;u\; + tan\;u\vert + C}$
  Según lo estudiado sobre la integral que da como resultado la función logaritmo natural, ya que si $f(u) = sec\;u + tan\;u$ entonces$f'(u) = sec\;u\;tan\;u + sec^{2}u$
    y se tiene por tanto una integral de la forma $\displaystyle {\int \frac{f'(u)\;du}{f(u)}}$
  El resultado anterior es válido para:
  $\{u\in I\!\!R/u \neq \frac{\Pi}{2}+ n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que:
  $\displaystyle {\int f'(x)\;sec\;f(x)\;dx = ln\;\vert sec\;f(x) + tan\;f(x)\vert + C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int sec\;6x\;dx = \frac{1}{6}\int 6\;sec\;6x\;dx = \frac{1}{6}\;ln\;\vert sec\;6x\;+ tan\;6x\vert + C}$
   
b. $\displaystyle {\int 3x\;sec\;x^{2}\;dx = \frac{3}{2}\int 2x\;sec\;x^{2}\;dx = \frac{3}{2}\;ln\;\vert sec\;x^{2}\;+ tan\;x^{2}\vert + C}$
   
c. $\displaystyle {\int \frac{sec\;(ln\;x)}{x}\;dx = ln\;\vert sec\;(ln\;x)\;+ tan\;(ln\;x)\vert + C}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{sec\;(e^{2x})}{e^{-2x}}\;dx}$    Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int \frac{sec\;(tan\;x)\;dx}{cos^{2}x}}$  Ejercicio para el estudiante
   
10. En forma similar al procedimiento seguido en el caso anterior
  calcularemos$\displaystyle {\int csc\;u\;du.}$
  $\displaystyle {\int csc\;u\;du = \int \frac{csc\;u\;(csc\;u - cot\;u)}{csc\;u - cot\;u}\;du}$
  $\displaystyle {=\int \frac{csc^{2}u - csc\;u\;cot\;u}{csc\;u\;- cot\;u}\;dx = ln\;\vert csc\;u\;- cot\;u\vert + C}$
  Este resultado es válido para $\{u\in I\!\!R/u \neq n \cdot \Pi\}, n\in Z$
  Si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, por lo que:
  $\displaystyle {\int f'(x)\;csc\;f(x)\;dx = ln\;\vert csc\;f(x)- cot\;f(x)\vert + C}$

Ejemplos

a. $\displaystyle {\int x\;csc\;x^{2}\;dx = \frac{1}{2}\int 2x\;csc\;x^{2}\;dx = \frac{1}{2}\;ln\;\vert csc\;x^{2}- cot\;x^{2}\vert + C}$
   
b. $\displaystyle {\int e^{x}\;csc\;e^{x}\;dx = ln\;\vert csc\;e^{x}- cot\;e^{x}\vert + C}$
   
c. $\displaystyle {\int \frac{3}{x}\;csc\;\left(\frac{1}{x}\right)\;dx = -3 \int \frac{-1}{x^{2}}\;csc\;\left(\frac{1}{x}\right)\;dx}$
  $\displaystyle {=-3\;ln\;\left\vert csc\;\left(\frac{1}{x}\right)\;- cot\;\left(\frac{1}{x}\right)\right\vert + C}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{csc\;(cot\;x)}{sen^{2}x}\;dx}$    Ejercicio para el estudiante
   
e. $\displaystyle {\int csc \left(\frac{x}{2a}\right)\;dx}$      Ejercicio para el estudiante

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