Lic. Elsie Hernández S.

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Integración por partes

Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede determinar más fácilmente.

Consideremos dos funciones f y g derivables en x $\varepsilon S.$

Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:

$d[f(x)\cdot g(x)] = f(x)\;g'(x)\;dx + g(x)\;f'(x)\;dx$

$f(x)\;g'(x)\;dx = d[f(x)\cdot g(x)] - g(x)\;f'(x)\;dx$

integrando a ambos lados:

$\displaystyle {\int f(x)\;g'(x)\;dx = \int d\left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int g(x)\;f'(x)\;dx}$

de donde

$\displaystyle {\int f(x)\;g'(x)\;dx = f(x)\cdot g(x) - \int g(x)\;f'(x)\;dx}$ esta es la fórmula de integración por partes.

Utilizando los diferenciales de las funciones, si $u = f(x)$ entonces $du= f'(x)dx$, y si $v = g(x)$ entonces $dv = g'(x)dx$.

Sustituyendo en la igualdad anterior:

$\displaystyle {\int u\;dv = u\cdot v - \int v\;du}$

Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral $\int u\;dv $ en términos de otra integral $\int v\;du$, que puede resultar más fácil de integrar.

Si $\int v\;du$ fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada.

Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:

$\displaystyle {\int x^{n}\;sen(a\;x)dx, \int x^{n}\;cos(a\;x)dx, \int x^{n}\;e^{ax}\;dx, \int ln\;x\;dx,}$ así como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas.

Con los ejemplos siguientes el estudiantes podrá darse una idea de la selección adecuada de las variables u y dv.

  1. $\displaystyle {\int 3x\;sen\;x\;dx}$ si $u = 3x$ entonces $du = 3\;dx$

    $\displaystyle {=3x(-cos\;x) - \int -cos\;x\cdot 3\;dx}$ si dv = $sen\;x$ dx entonces

    $\displaystyle {=-3x\;cos\;x + 3 \int cos\;x\;dx}$ v = $\int sen\;x\;dx = -cos\;x $

    $\displaystyle {=-3x\;cos\;x + 3\;sen\;x + C}$ para x $\varepsilon I\!\!R$

    Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.

    En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

  2. $\displaystyle {\int x^{2}\;e^{3x}\;dx}$
    si $u = x^{2}$ entonces $du = 2x\;dx$
    si $dv = e^{3x}\;dx$ entonces
    $\displaystyle {v = \int e^{3x}\;dx = \frac{1}{3} \int e^{3x}\;dx = \frac{e^{3x}}{3}}$

    Luego:

    $\displaystyle {\int x^{2}\;e^{3x}\;dx = x^{2}\cdot \frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}\cdot 2x\;dx}$

    $\displaystyle {= \frac{x^{2}\;e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \int x\;e^{3x}\;dx}$

    ahora $u = x, du = dx$

    $\displaystyle { dv = e^{3x}\;dx}$ y $\displaystyle {v = \frac{1}{3}\;e^{3x}\;dx}$

    Por tanto:

    $\displaystyle {\int x^{2}\;e^{3x}\;dx = \frac{x^{2}\;e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \left[\frac{x\;e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}\;dx \right]}$

    $\displaystyle {= \frac{x^{2}\;e^{3x}}{3} - \frac{2}{9}x\;e^{3x} + \frac{2}{9} \int e^{3x}\;dx}$

    $\displaystyle {= \frac{x^{2}\;e^{3x}}{3} - \frac{2}{9}x\;e^{3x} + \frac{2}{27}\; x\;e^{3x} + C}$

  3. $\displaystyle {\int ln\;x\;dx}$ si $u = ln\;x$ entonces $\displaystyle {du = \frac{dx}{x}}$

    si $dv = dx$ entonces v = x

    Luego:

    $\displaystyle {\int ln\;x\;dx = x\;ln\;x - \int x \;\frac{dx}{x}}$

    $\displaystyle {= x\;ln\;x - \int dx}$

    $\displaystyle {= x\;ln\;x - x + C}$

  4. $\displaystyle {\int x^{2}\;ln\;x\;dx}$ si $u = ln\;x$ entonces $\displaystyle {du = \frac{dx}{x}}$

    si $dv = x^{2}\;dx$ entonces $\displaystyle {v = \frac{x^{3}}{3}}$

    Luego:

    $\displaystyle {\int x^{2}\;ln\;x\;dx = \frac{x^{3}\;ln\;x}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{dx}{x}}$

    $\displaystyle {= \frac{x^{3}\;ln\;x}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2}\;dx}$

    $\displaystyle {= \frac{x^{3}\;ln\;x}{3} - \frac{1}{9}\;x^{3} + C}$

  5. $\displaystyle {\int ln^{2}x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante

  6. $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx}$ si $u = sen\;x$ entonces $\displaystyle {du = cos\;x\;dx}$

    si $dv = e^{x}\;dx$ entonces $\displaystyle {v = e^{x}\;dx}$

    Luego:

    $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx = e^{x}\;sen\;x - \int e^{x}\;cos\;x\;dx}$

    nuevamente: $u = cos\;x,\; du = -sen\;x\;dx$

    $dv = e^{x}\;dx,\; v = e^{x}$

    $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx = e^{x}\;sen\;x - \left[e^{x}\;cos\;x - \int e^{x}(-sen\;x)\;dx\right]}$

    $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx = e^{x}\;sen\;x - e^{x}\;cos\;x - \int e^{x}\;sen\;x\;dx}$

    $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx + \int e^{x}\;sen\;x\;dx = e^{x}\;sen\;x - e^{x}\;cos\;x}$

    $\displaystyle {2\int e^{x}\;sen\;x\;dx = e^{x}\;sen\;x - e^{x}\;cos\;x}$

    $\displaystyle {\int e^{x}\;sen\;x\;dx = \frac {e^{x}}{2}\;(sen\;x - cos\;x) + C}$

  7. $\displaystyle {\int sec^{3}x\;dx}$

    Podemos escribir

    $\displaystyle {\int sec^{3}x\;dx = \int sec\;x \cdot sec^{2}x\;dx}$

    si $u = sec\;x$ entonces $du = sec\;x\cdot tan\;x\;dx$

    si $dv = sec^{2}x\;dx$ entonces $v = \int sec^{2}x\;dx = tan\;x$

    Luego:

    $\displaystyle {\int sec^{3}x\;dx = sec\;x\cdot tan\;x - \int tan\;x \cdot sec\;x\cdot tan\;x\;dx}$

    $\displaystyle {=sec\;x\cdot tan\;x - \int sec\;x\cdot tan^{2}x\;dx}$

    $\displaystyle {=sec\;x\cdot tan\;x - \int sec\;x\;(sec^{2}x-1)\;dx}$

    $\displaystyle {=sec\;x\cdot tan\;x - \int sec^{3}x\;dx + \int sec\;x\;dx}$

    $\displaystyle {=\int sec^{3}x\;dx + \int sec^{3}x\;dx = sec\;x\;tan\;x + \int sec\;x\;dx}$

    $\displaystyle {=\int sec^{3}x\;dx = \frac{1}{2}( sec\;x\;tan\;x + ln\;\vert sec\;x + tan\;x\vert) + C}$

  8. $\displaystyle {\int csc^{3}5x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante.

  9. $\displaystyle {\int arctan\;x\;dx}$ si $\displaystyle {u = arctan\;x}$ entonces $du = \frac{dx}{1+x^{2}}$

    si $dv = dx$ entonces $v = x$

    Luego:

    $\displaystyle {\int arctan\;x\;dx = x\;arctan\;x - \int \frac{dx}{1+x^{2}}dx}$

    $\displaystyle {= x\;arctan\;x - \frac{1}{2}\;ln\;\vert 1+x^{2}\vert + C}$

  10. $\displaystyle {\int (x+1)^{2}\;e^{x}\;dx}$
    si $u = (x+1)^{2}$ entonces
    $du = 2(x+1)$dx
    si $dv = e^{x}\;dx$ entonces $v = e^{x}$

    Luego:

    $\displaystyle {\int (x+1)^{2}\;e^{x}\;dx = e^{x}\;(x+1)^{2} - \int 2(x+1)\;e^{x}\;dx}$

    nuevamente: si $u = x+1$ entonces $du = dx$

    si $dv = e^{x}\;dx$ entonces $v = e^{x}$

    Por tanto:

    $\displaystyle {\int (x+1)^{2}\;e^{x}\;dx = e^{x}(x+1)^{2} - \left[e^{x}(x+1) - \int e^{x}\;dx\right]}$

    $\displaystyle {= e^{x}(x+1)^{2} - (x+1)\;e^{x} + e^{x} + C}$

  11. $\displaystyle {\int x\;ln\;\sqrt{x+2}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante.

  12. $\displaystyle {\int x\;arcsen\;x\;dx}$    Ejercicio para el estudiante.

  13. $\displaystyle {\int sen(ln\;x)\;dx}$      Ejercicio para el estudiante.

  14. $\displaystyle {\int x\;sec^{2}x\;dx}$         Ejercicio para el estudiante.

  15. $\displaystyle {\int \frac{x\;ln\;x}{\sqrt{x^{2}-4}}\;dx}$       Ejercicio para el estudiante.

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