Lic. Elsie Hernández S.

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Integración de fracciones racionales

Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ejemplos de fracciones racionales son las siguientes:

$\displaystyle {\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}+4},\;\frac{3x+5}{x^{2}-3x+2},\;\frac{6x^{2}+7x-5}{2x-3}}$

Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo:

$\displaystyle {\frac{3x+1}{x^{2}-5x+5},\; \frac{2x}{x^{2}+3},\;\frac{3x^{2}+1}{x^{3}-1}}$

Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma $\displaystyle {\int \frac{\alpha}{(x-a)^{n}}\;dx}$ que da como resultado $\displaystyle {\alpha\;\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C}$ cuando $n\neq 1$ y $\alpha\;ln\;\vert x-a\vert + C$ si $n = 1$

Además también se puede determinar integrales del tipo $\displaystyle {\int \frac{mx+b}{x^{2}+bx+c}\;dx}$ donde $b^{2}-4ac<0,$ es decir $x^{2}+bx+c$ no es factorizable en $I\!\!R$
(Para este tipo de integral ver "Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas").

Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}.}$ La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:


  Teorema 1
    Si M(x) y N(x) son polinomios, entonces

$\displaystyle {\int \frac {M(x)}{N(x)} = L(x) + \frac{R(x)}{N(x)},}$ en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el de N(x)

 Ejemplo:

$\displaystyle {\frac {5x^{3}+7x^{2}+x-1}{x^{2}+1} = 5x+7 - \frac{4x+6}{x^{2}+1}}$

  Teorema 2 
  Si M(x) y N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que el de N(x),entonces $\displaystyle {\frac{M(x)}{N(x)}}$ se puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma:

$\displaystyle {\frac {A}{ax+b},\; \frac{B}{(ax+b)^{n}},\; \frac{Cx + D}{ax^{2}+bx+c},\;\frac{Cx + D}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}$
 

Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos:

 
$\alpha$ . Cada factor lineal $ax+b$ que aparece sólo una vez en N(x)
  posee un término de la forma $\displaystyle {\frac{A}{ax + b}}$ en la suma S(x).

$\beta$ . Para cada factor lineal $ax+b$ que aparece k veces en N(x)
  habrá una suma de k términos como sigue:
  $\displaystyle {\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^{2}} + \frac{A_3}{(ax+b)^{3}} + ....+ \frac{A_k}{(ax+b)^{k}}}$ en la suma    S(x)
   
$\lambda$ . Para cada factor cuadrático $ax^{2}+bx+c$ con $b^{2}-4ac<0,$que
  aparezca sólo una vez en N(x) existe un término de la forma
  $\displaystyle {\frac{Cx + D}{ax^{2} + bx + C}}$ en la suma S(x).
   
$\delta$ . Para cada factor cuadrático $ax^{2}+bx+c$ con $b^{2}-4ac<0,$que
   aparezca k veces en N(x) habrá una suma de k términos
  como sigue:
  $\displaystyle {\frac{C_1x +D_1}{ax^{2}+bx+c} + \frac{C_2x + D_2}{(ax^{2}+bx+c)^{2}} +....+ \frac{C_kx + D_kx}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}}$ en la
  suma S(x)

 
  Teorema 3
  Si el valor de un polinomio p(x) de grado n es igual al valor de su polinomio q(x) de grado m, donde $m\leq n$, para al menos $n+1$ valores de x, entonces los polinomios son idénticos y tienen valores iguales para todos los valores de x.

Este teorema será utilizado para obtener los valores de las constantes en cada uno de los casos anteriores. Daremos ahora ejemplos de cada caso.

Caso $\alpha$

Calcular cada una de las siguientes integrales:

Ejemplo 1

        $\displaystyle {\int \frac{4x-2}{x(x+1)\;(x-2)}\;dx}$

Observe que el denominador del integrando ya está factorizado, y cada factor lineal aparece solo una vez. Luego se puede escribir la siguiente igualdad (aplicando el Teorema 2)

$\displaystyle {\frac{4x-2}{x(x+1)\;(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x-2)}}$

 

 

de donde:

$\displaystyle {\frac{4x-2}{x(x+1)\;(x-2)} = \frac{A(x+1)\;(x-2)+ Bx(x-2)+ Cx(x+1)}{x(x+1)\;(x-2)}}$

 

igualando los numeradores se tiene:

$\displaystyle {4x-2 = A(x+1)\;(x-2)+ Bx(x-2)+ Cx(x+1)}$

 

Para determinar los valores de A, B y C se pueden utilizar dos procedimientos.

i. Si dos polinomios T(x) y Z(x) son tales que $T(x) = Z(x)$ para $x \varepsilon I\!\!R$,   entonces    los coeficientes de potencias iguales de x en los dos polinomios deben ser iguales.

Como:

$4x-2 = A(x^{2}-x-2) + B(x^{2}-2x) + C(x^{2}+x)$

entonces

$4x-2 = (A+B+C)x^{2}+ (-A-2B+C)x-2A$

  y por tanto:

    $A+B+C = 0$

   $-A-2B+C = 4$

   $-2A = -2$

  Resolviendo el sistema anterior se obtiene que $A=1, B=-2$ y $C=1$

   Luego:

   $\displaystyle {\frac{4x-2}{x(x+1)\;(x-2)} = \frac{1}{x} + \frac{-2}{x+1} + \frac{1}{x-2}}$

ii. Como los miembros de la ecuación$4x-2 = A(x+1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x+1)$  son polinomios de grado dos o menos y deben ser iguales para más de dos valores de x, del Teorema 3 concluimos que son iguales para todos los valores de x. Luego es posible escoger tres valores arbitrarios de x para sustituirlos en la ecuación anterior y así obtener tres ecuaciones en las incógnitas A, B y C. Generalmente se utilizan valores de x que conduzcan a las ecuaciones más simples.

Así, si $x=0$ se obtiene que:

$4(0)- 2= A(0+1)(0-2) + B\cdot0(0-2) + C\cdot0(0+1)$

 

$-2= A(1)(-2)$  de donde $A=1$

Si $x=-1$ se obtiene que:

$4(-1)-2 = A(-1+1)(-1-2) + B(-1)(-1-2) + C(-1)(-1+1)$

 


$-6= B(3)$  de donde $B=-2$

Por último, si $x=2$ se obtiene que:

$4(2)- 2= A(2+1)(2-2) + B\cdot 2(2-2) + C\cdot2(2+1)$

 

$6= C(6)$ de donde $C=1$

Como vemos, el resultado es el mismo que el obtenido en el procedimiento señalado en i.

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{4x-2}{x(x+1)(x-2)}\;dx = \int \frac{1}{x}\;dx + \int \frac{-2}{x+1}\;dx + \int \frac{1}{x-2}\;dx}$

$\displaystyle {=ln\;\vert x\vert\;-2\;ln\;\vert x+1\vert + ln\;\vert x-2\vert + C}$

 

$\displaystyle {=ln\;\left\vert\frac{x(x-2)}{(x+2)^{2}}\right\vert+ C}$

 

Ejemplo 2:

$\displaystyle {\int \frac{6x^{2}-2x-1}{4x^{3}-x}\;dx}$

 

En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Así $4x^{3} - x= x(2x+1)(2x-1)$

Luego:

$\displaystyle {\frac{6x^{2}-2x-1}{4x^{3} - x} = \frac{6x^{2}-2x-1}{x(2x-1)(2x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x-1} +\frac{C}{2x+1}}$

 

Se deben calcular nuevamente los valores de A, B y C, utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados.

Como:

$\displaystyle {\frac{6x^{2}-2x-1}{x(2x-1)\;(2x+1)} = \frac{A(2x-1)\;(2x+1)+ Bx(2x+1)+ Cx(2x-1)}{x(2x-1)\;(2x+1)}}$

 

entonces:

$\displaystyle {6x^{2}-2x-1 = A(2x-1)\;(2x+1)+ Bx(2x+1)+ Cx(2x-1)}$

 

Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de 0, $\displaystyle {\frac{1}{2}}$ y $\displaystyle {\frac{-1}{2}}$ como sigue:

Si $x=0$ entonces: 1 = A(-1)(1) de donde $A=-1$

Si $x=\frac{1}{2}$ entonces: $-\frac{1}{2} = B(\frac{1}{2})(2)$ de donde $B=\displaystyle {\frac{-1}{2}}$

Si $x=\frac{-1}{2}$ entonces: $\frac{3}{2} = C(\frac{-1}{2})(-2)$ de donde $C=\displaystyle {\frac{3}{2}}$

Luego

$\displaystyle {\int \frac{6x^{2}-2x-1}{4x^{3}-x}\;dx = \int \frac{6x^{2}-2x-1}{... ...x}\;dx + \int \frac{\frac{-1}{2}}{2x-1}\;dx +\int \frac{\frac{3}{2}}{2x+1}\;dx}$

$\displaystyle {=-\int \frac{dx}{x} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{2x-1} + \frac{3}{2}\int \frac{dx}{2x+1}}$

 


$\displaystyle {=-ln\;\vert x\vert -\frac{1}{4}\;ln\vert 2x-1\vert + \frac{3}{4}\;ln\vert 2x+1\vert + C}$

 


$\displaystyle {=ln\;\left\vert\frac{\sqrt[4]{(2x+1)^{3}}}{x\sqrt[4]{2x-1}}\right\vert + C}$

 

Ejemplo 3:

$\displaystyle {\int \frac{2x+1}{x^{3}-7x+6}\;dx = \int \frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x+3)}}$

 

Luego, según el Teorema 2

$\displaystyle {\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} +\frac{C}{x+3}}$

 

de donde:

$2x+1 = A(x-2)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x-2)$

 

Utilizando el segundo procedimiento para determinar A, B y C, se obtiene que:

Si $x=2$ entonces $5 = B(1)(5)$ de donde B=1

Si $x=3$ entonces $-5 = C(-4)(-5)$ de donde C= $\displaystyle {\frac{-1}{4}}$

Si $x=1$ entonces $3 = A(-1)(4)$ de donde A= $\displaystyle {\frac{-3}{4}}$

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{2x+1}{x^{3}-7x+6}\;dx = \int \frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x... ...rac{-3}{4}}{x-1}\;dx + \int \frac{dx}{x-2} + \int \frac{\frac{-1}{4}}{x+3}\;dx}$

$\displaystyle {=\frac{-3}{4} \int \frac{dx}{x-1} + \int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+3}}$

 


$\displaystyle {=\frac{-3}{4}\;ln\;\vert x-1\vert + ln\vert x-3\vert - \frac{1}{4}\;ln\vert x+3\vert + C}$

 

Caso $\beta$

Calcular cada una de las siguientes integrales:

Ejemplo 1

$\displaystyle {\int \frac{2y^{2}+11y+8}{y^{3}+4y^{2}+4y}\;dy}$

 


Factorizando el denominador del integrando se obtiene que

$y^{3}+4y^{2}+4y = y(y^{2}+4y+4) = y(y+2)^{2}.$

 

Se observa que el factor (y+2) aparece dos veces, por lo que según el Teorema 2 existirá una suma de dos términos para el término $(y+2)^{2}$

Luego:

$\displaystyle {\frac{2y^{2}+11y+8}{y^{3}+4y^{2}+4y} = \frac{2y^{2}+11y+8}{y(y+2)^{2}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y+2} +\frac{C}{(y+2)^{2}}}$

 

 $\displaystyle {\frac{2y^{2}+11y+8}{y(y+2)^{2}} = \frac{A(y+2)^{2}+By(y+2)+C(y)}{y(y+2)^{2}}}$

 

de donde:

$2y^{2}+11y+8 = A(y+2)^{2}+By(y+2)+C(y)$

 

Aplicando el Teorema 3:

Si $y=0$ entonces $8 = A(2)^{2}$ de donde $A=2$

Si $y=-2$ entonces $-6 = C(-2)$ de donde $C=3$

Pueden ahora utilizarse los valores de A y C e igualar coeficientes para determinar el valor de B, o darle a "y" otro valor (según Teorema 3) como se hace a continuación:

Si $y=1$ entonces $21 = 2(3)^{2} + B\cdot 1(3) + 3(1)$ de donde $21 = 18+3B+3$ y por último $B=0$

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{2y^{}+11y+8}{y^{3}+4y^{2}+4y}\;dy = \int \frac{2}{y}\;dy + \int \frac{3}{(y+2)^{2}}\;dy}$

 


$\displaystyle {=2 \int \frac{dy}{y} + 3\int (y+2)^{-2}\;dy}$

 


$\displaystyle {=2\;ln\;\vert y\vert - \frac{3}{y+2} + C}$

 


Ejemplo 2

$\displaystyle {\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}(x-2)^{3}}\;dx}$

 


En este caso el factor x se repite 2 veces y el factor (x-2) lo hace 3 veces.

Luego

$\displaystyle {\frac{x^{3}-1}{x^{2}(x-2)^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{(x-2)^{2}} + \frac{E}{(x-2)^{3}}}$

 


$\displaystyle {\frac{x^{3}-1}{x^{2}(x-2)^{3}} = \frac{Ax(x-2)^{3}+B(x-2)^{3}+Cx^{2}(x-2)^{2}+Dx^{2}(x-2) + Ex^{2}}{x^{2}(x-2)^{3}}}$

 


de donde:

$x^{3}-1 = Ax(x-2)^{3}+B(x-2)^{3}+Cx^{2}(x-2)^{2}+Dx^{2}(x-2) + Ex^{2}$

 


Por el Teorema 3:

Si $x=0$ entonces $-1 = B(-2)^{3}$ de donde $B=\frac{1}{8}$

Si $x=2$ entonces $7 = E(2)$ de donde $E=\frac{7}{4}$

Daremos ahora otros valores a x para obtener ecuaciones que permitan calcular los valores de A, C y D.

Si $x=1$ entonces $0 = -A + \frac{1}{8}\cdot(-1) + C - D + \frac{7}{8}$
o sea $A-C+D=\frac{7}{8}$

Si $x=3$ entonces $26 = 3A + \frac{1}{8} + 9C + 9D + \frac{7}{8}\cdot9$
o sea $A+3C+3D=6$

Si $x=-1$ entonces $\displaystyle {-2 = 27A + 9C - 3D - \frac{20}{8}}$ o sea $\displaystyle {27A+9C-3D=\frac{1}{2}}$ se tiene entonces el siguiente sistema de ecuaciones.

$A-C+D=\displaystyle {\frac{13}{8}}$

$A+3C+D=\displaystyle {\frac{27}{8}}$

$27A+9C-3D=\displaystyle {\frac{-3}{8}}$

el cual se satisface para $\displaystyle {A=\frac{3}{16},\; C=\frac{-3}{16}}$ y $\displaystyle {D=\frac{5}{4}}$

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}(x-2)^{3}}\;dx = \int \frac{\frac{3}{16... ...int \frac{\frac{5}{4}}{(x-2)^{2}}\;dx + \int \frac{\frac{7}{4}}{(x-2)^{3}}\;dx}$

$\displaystyle {=\frac{3}{16}\int \frac{dx}{x} + \frac{1}{8}\int x^{-2}\;dx - \f... ...nt \frac{dx}{x-2} + \frac{5}{4}\int (x-2)^{2}dx + \frac{7}{4}\int (x-2)^{-3}dx}$

$\displaystyle {=\frac{3}{16}\;ln\;\vert x\vert - \frac{1}{8x} - \frac{3}{16}\;ln\;\vert x-2\vert - \frac{5}{4(x-2)} - \frac{7}{8(x-2)^{2}}+ C}$

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