Lic. Elsie Hernández S.

    1  2  3  4  5  6  7 8 9 10 11 12 13 14

 

 

 

Integral que da como resultado la función logaritmo natural

$\displaystyle {\int \frac{1}{x}\;dx=ln\;\vert x\vert + C }$ $(\alpha)$

Prueba:

Si $x>0$ entonces $\vert x\vert= x$  y  $ln\;\vert x\vert=ln\;x $ por lo que:

$D_{x}(ln\;\vert x\vert)=D_{x}(ln\;x)= \frac{1}{x}$

Si $x<0$ entonces $\vert x\vert= -x$,y, $ln\;\vert x\vert=ln\;(-x)$ por lo que:

$D_{x}(ln\;\vert x\vert)=D_{x}(ln\;(-x))= \frac{1}{-x}\cdot -1 = \frac{1}{x}$

De esta manera queda comprobado la igualdad dada en $(\alpha)$.

En general se tiene que $\displaystyle {\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln\;\vert f(x)\vert+C}$

Observe que la expresión en el denominador debe tener exponente uno y que además en el integrando debe aparecer la derivada de f(x).

Ejemplos:

  1.  

  2. $\displaystyle {\int \frac{x}{x^{2}+1}\;dx = \frac{1}{2}\; \int \frac{2x}{x^{2}+1}\;dx = \frac{1}{2}\;ln\;\vert x^{2}+1\vert + C}$

  3. $\displaystyle {\int \frac{-4x+1}{4x^{2}-2x+5}\;dx}$ Note que $D_{x}(4x^{2}-2x+5)=8x-2$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{2}\int \frac{-2(-4x+1)}{4x^{2}-2x+5}\;dx = \frac{-1}{2}\int \frac{8x-2}{4x^{2}-2x+5}\;dx}$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{2}\; ln\;\vert 4x^{2}-2x+5\vert+C }$

    Nota:
    Cuando en un cociente, la variable de la expresión en el numerador tiene exponente mayor o igual al de la variable en el denominador, debe efectuarse primero una división y luego integrar como se especifica en los ejemplos siguientes:

  4. $\displaystyle {\int \frac{3y}{y+5}\;dy = \int \left(3- \frac{15}{y+5}\right)\;dy = \int 3\;dy - 15\int \frac{dy}{y+5}}$

    $\displaystyle {=3y - 15\;ln\;\vert y+5\vert\;+C}$

  5. $\displaystyle {\int \frac{4y^{2}}{2y+5}\;dy = \int \left(2y - \frac{5}{2} + \frac{\frac{25}{2}}{2y+5}\right)\;dy}$

    $\displaystyle {= \int \left(2y - \frac{5}{2}\right)\;dy + \frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2}{2y+5}\;dy}$

    $\displaystyle {= y^{2}\;- \frac{5}{2}\;y\;+\frac{25}{4}\;ln\;\vert 2y+5\vert + C}$

  6. $\displaystyle {\int \frac{5y^{2}+6y}{10y+3}\;dy}$ Ejercicio para el estudiante

Volver
Revista digital Matemática, Educación e Internet.