Lic. Elsie Hernández S.

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Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas

Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:

 
a. $\displaystyle {sen^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1,\; \alpha\in I\!\!R}$
   
b. $\displaystyle {tan^{2}\alpha + 1 = sec^{2}\alpha,\; \alpha\in I\!\!R, \alpha\neq \frac{\Pi}{2}+ n \cdot \Pi, n\in Z}$
   
c. $\displaystyle {cot^{2}\alpha + 1 = csc^{2}\alpha,\; \alpha\in I\!\!R, \alpha\neq n \cdot \Pi, n\in Z}$
   
d. $\displaystyle {sen\;2\alpha = 2\;sen\;\alpha\;cos\;\alpha,\; \alpha\in I\!\!R}$
   
e. $\displaystyle {sen^{2}\alpha = \frac{1 - cos\;2\alpha}{2},\; \alpha\in I\!\!R}$
   
f. $\displaystyle {cos^{2}\alpha = \frac{1 + cos\;2\alpha}{2},\; \alpha\in I\!\!R}$

Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:

 

1. $\displaystyle {\int sen^{n}x \;dx,\; \int cos^{n}x \;dx}$ con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int sen^{2}x\;dx}$   (se utiliza la fórmula dada en e.)
  $\displaystyle {=\int \frac{1 - cos\;2x}{2}\;dx}$
  $\displaystyle {=\int \frac{1}{2}\;dx - \frac{1}{2}\int cos\;2x\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\;sen\;2x + C}$
   
b. $\displaystyle {\int cos^{2}x\;dx}$  Ejercicio para el estudiante
   
c. $\displaystyle {\int sen^{4}x\;dx = \int (sen^{2}x)^{2}\;dx = \int \left(\frac{1 - cos\;2x}{2}\right)^{2}\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{4}\int (1 - 2\;cos\;2x + cos^{2}\;2x)\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{4}\int dx - \frac{1}{4}\int 2\;cos\;2x\;dx + \frac{1}{4} \int cos^{2}\;2x\;dx}$
  (en la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en (e), solo que en este caso $\alpha$ es igual a 2x)
   
  $\displaystyle {=\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{4}\;sen\;2x + \frac{1}{4} \int \frac{1 - cos\;4x}{2}\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{4}\;sen\;2x + \frac{1}{8} \int dx - \frac{1}{8} \int cos\;4x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{4}\;sen\;2x + \frac{1}{8}\;x - \frac{1}{32}\;sen\;4x + C}$
  $\displaystyle {=\frac{3}{8}\;x - \frac{1}{4}\;sen\;2x - \frac{1}{32}\;sen\;4x + C}$
   

En forma similar se procede con $\int cos^{4}x\;dx$ y en general con las integrales de las potencias pares de las funciones seno y coseno.

2. $\displaystyle {\int sec^{n}x \;dx,\; \int csc^{n}x \;dx}$ con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int sec^{4}x\;dx = \int sec^{2}x\;sec^{2}x\;dx = \int (tan^{2}x + 1)\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int tan^{2}x\;sec^{2}x\;dx + \int sec^{2}x\;dx}$  (Note que $D_x\;tan\;x = sec^{2}x)$
  $\displaystyle {=\int \frac{tan^{3}x}{3} + tan\;x + C}$
   
b. Similarmente, utilizando la identidad c puede determinarse $\displaystyle {\int csc^{4}x\;dx}$
   
c. $\displaystyle {\int sec^{6}x\;dx = \int (sec^{2}x)^{2}\;sec^{2}x\;dx = \int (tan^{2}x + 1)^{2}\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (tan^{4}x + 2\;tan^{2}x + 1)\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int tan^{4}x\;sec^{2}x\;dx + 2 \int tan^{2}x\;sec^{2}x\;dx + \int sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{tan^{5}x}{5} + 2\;\frac{tan^{3}x}{3} + tan\;x + C}$
   
d. $\displaystyle {\int csc^{6}x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante
  Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones secante y cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el método de la integración por partes que se estudiará más adelante.
   
3. $\displaystyle {\int tan^{n}x \;dx,\; \int cot^{n}x \;dx}$ con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int tan^{2}x\;dx}$ Utilizando la fórmula dada en b.
  $\displaystyle {=\int (sec^{2}x - 1)\;dx = \int sec^{2}x\;dx - \int dx}$
  $\displaystyle {= tan\;x - x + C}$
   
b. Utilizando la fórmula dada en c, calcule $\displaystyle {\int cot^{2}x\;dx}$
   
c. $\displaystyle {\int tan^{4}x\;dx = \int tan^{2}x\;tan^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (sec^{2}x - 1)^{2}\;dx = \int (sec^{4}x - 2\;sec^{2}x + 1)\;dx}$
  $\displaystyle {=\int sec^{4}x\;dx - 2\int sec^{2}x\;dx + \int dx}$
  $\displaystyle {=\int sec^{2}x\;sec^{2}x\;dx - 2\;tan\;x + x}$
  $\displaystyle {=\int (tan^{2}x + 1)\;sec^{2}x\;dx - 2\;tan\;x + x}$
  $\displaystyle {=\int tan^{2}x\;sec^{2}x\;dx + \int sec^{2}x\;dx - 2\;tan\;x + x}$
  $\displaystyle {=\frac{tan^{3}x}{3} + tan\;x - 2\;tan\;x + x + C}$
  $\displaystyle {=\frac{tan^{3}x}{3} + x - tan\;x + C}$
   
d. Determine $\displaystyle {\int cot^{4}x\;dx}$
   
4. $\displaystyle {\int sen^{m}x\;dx,\; \int cos^{m}x\;dx,\;\int tan^{m}x\;dx,\; \int cot^{m}x\;dx }$ con m 
  un entero positivo impar.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int sen^{3}x\;dx = \int sen^{2}x\;sen\;x\;dx = \int(1 - cos^{2}x)\;sen\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int sen\;x\;dx - \int cos^{2}x\;sen\;x\;dx}$ (Recuerde que $D_x\;cos\;x = -sen\;x$)
  $\displaystyle {=\int sen\;x\;dx + \int (cos\;x)^{2}\;(-sen\;x)\;dx}$
 
   
b. Determine$\displaystyle {\int cos^{3}x\;dx}$
   
c. $\displaystyle {\int cos^{5}x\;dx = \int cos^{4}x\;cos\;x\;dx = \int(cos^{2}x)^{2}\;cos\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (1 - sen^{2}x)^{2}\;cos\;x\;dx = \int(1 - 2\;sen^{2}x + sen^{4}x)\;cos\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int cos\;x\;dx - 2\int sen^{2}x\;cos\;x\;dx + \int sen^{4}x\;cos\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=sen\;x - \frac{2}{3}\;sen^{3}x + \frac{1}{4}\;sen^{4}x + C}$
   
d. Calcule $\displaystyle {\int sen^{7}x\;dx}$
   
e. $\displaystyle {\int tan^{3}x\;dx = \int tan^{2}x\;tan\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (sec^{2}x - 1)\;tan\;x\;dx = \int sec^{2}x\;tan\;x\;dx - \int tan\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{2}\;tan^{2}x\;dx + ln\;\vert cos\;x\vert + C}$
   
f. $\displaystyle {\int cot^{5}x\;dx = \int cot^{4}x\;cot\;x\;dx = \int (cot^{2}x)^{2}\;cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (csc^{2} - 1)^{2}\;cot\;x\;dx = \int (csc^{4}x - 2\;csc^{2}x + 1)\;cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int csc^{4}x\;cot\;x\;dx - 2\int csc^{2}x\;cot\;x\;dx + \int cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int csc^{2}x\;csc^{2}x\;cot\;x\;dx - 2\int csc^{2}x\;cot\;x\;dx + \int cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (cot^{2}x + 1)\;csc^{2}x\;cot\;x\;dx - 2\int cot\;x\;csc^{2}x\;dx + \int cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int cot^{3}x\;csc^{2}x\;dx + \int cot\;x\;csc^{2}x\;dx - 2\int cot\;x\;csc^{2}x\;dx + \int cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=-\int cot^{3}x\;(-csc^{2}x)\;dx + \int cot\;x\;(-csc^{2}x)\;dx + \int cot\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=-\frac{1}{4}\;cot^{4}x + \frac{1}{2}\;\int cot^{2}x + ln\;\vert sen\;x\vert + C}$
   
g. Determine $\displaystyle {\int tan^{5}x\;dx}$
   
5. $\displaystyle {\int cos^{n}x\;sen^{r}\;x\;dx,\; \int tan^{n}x\;sec^{r}\;x\;dx,\;\int cot^{n}x\;sec^{r}\;x\;dx,}$
  con n y r ambos enteros positivos pares.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int sen^{2}x\;cos^{4}x\;dx}$ Utilizando las fórmulas e y f.
  $\displaystyle {=\int \left(\frac{1 - cos\;2x}{2}\right)\;\left(\frac{1 + cos\;2x}{2}\right)^{2}\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{8}\int (1 - cos\;2x)(1 + cos\;2x)^{2}\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{8}\int (1 - cos^{2}2x)(1 + cos\;2x)\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{8}\int (1 + cos\;2x - cos^{2}2x - cos^{3}2x)\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{8}\int dx + \frac{1}{8}\int cos\;2x\;dx - \frac{1}{8}\int cos^{2}2x\;dx - \frac{1}{8}\int cos^{2}2x\;cos\;2x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{8}x + \frac{1}{16}\;sen\;2x - \frac{1}{8}\int \frac{1 + cos\;4x}{2}dx - \frac{1}{8} \int (1 - sen^{2}x)\;cos\;2x\;dx}$
 
   
 
   
   
b. Determine $\displaystyle {\int sen^{2}x\;cos^{2}x\;dx}$
   
c. Determine $\displaystyle {\int sen^{4}x\;cos^{2}x\;dx}$
   
d. $\displaystyle {\int tan^{2}x\;sec^{4}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int tan^{2}x\;sec^{2}x\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int tan^{2}x\;(tan^{2}x + 1)\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int tan^{4}x\;sec^{2}x\;dx + \int tan^{2}x\;sec^{2}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{5}\;tan^{5}x + \frac{1}{5}\;tan^{3}x + C}$
   
e. $\displaystyle {\int cot^{2}x\;csc^{4}x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante
   
6. $\displaystyle {\int sen^{n}x\;cos^{r}\;x\;dx,\; \int tan^{n}x\;sec^{r}\;x\;dx,\;\int cot^{n}x\;csc^{r}\;x\;dx,}$
  con n y r ambos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar.

Ejemplos:

a. $\displaystyle {\int sen^{3}x\;cos^{4}x\;dx = \int sen^{2}x\;sen\;x\;cos^{4}x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (1 - cos^{2}x)\;sen\;x\;cos^{4}x\;dx = \int sen\;x\;cos^{4}x\;dx - \int cos^{6}x\;sen\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=-\int cos^{4}x\;(-sen\;x)\;dx + \int cos^{6}x(-sen\;x)\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{5}\;cos^{5}x + \frac{1}{7}\;cos^{7}x + C}$
   
b. $\displaystyle {\int sen^{2}x\;cos^{3}x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante
   
c. $\displaystyle {\int cos^{5}x\;sen^{3}x\;dx = \int cos^{5}x\;sen^{2}x\;sen\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int cos^{5}x\;(1 - cos^{2}x)\;sen\;x\;dx = \int cos^{5}x\;sen\;x\;dx - \int cos^{7}x\;sen\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{-1}{6}\;cos^{6}x + \frac{1}{8}\;cos^{8}x + C}$
   
d. $\displaystyle {\int tan^{3}x\;sec\;x\;dx = \int tan^{2}x\;tan\;x\;sec\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int (sec^{2}x\;-1)\;tan\;x\;sec\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\int sec^{2}x\;(tan\;x\;sec\;x)\;dx - \int tan\;x\;sec\;x\;dx}$
  $\displaystyle {=\frac{1}{3}\;sec^{3}x - sec\;x + C}$
   
e. $\displaystyle {\int cot^{5}x\;csc\;x\;dx}$ Ejercicio para el estudiante

Otros ejercicios

a. $\displaystyle {\int sen^{3}x\;cos^{3}x\;dx}$
   
b. $\displaystyle {\int \sqrt{cos\;x}\;sen^{3}x\;dx}$
   
c. $\displaystyle {\int sec^{6}x\;dx}$
   
d. $\displaystyle {\int \frac{cos^{3}t}{sen^{2}t}\;dt}$
   
e. $\displaystyle {\int \frac{tan^{4}y}{sec^{5}y}\;dy}$
   
f. $\displaystyle {\int \frac{sec^{3}x}{tan^{4}x}\;dx}$
   
g. $\displaystyle {\int \frac{csc^{4}x}{cot^{2}x}\;dx}$

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