Integral Indefinida

Lic. Elsie Hernández S.

Regla de la cadena para la antiderivación

Sea una función derivable en un intervalo .

Sea una función definida en $I\;\;\mbox{y}\;\;H$ una antiderivada de $f\;\;\mbox{en}\;\;I$ .

Entonces: $ds{\int f[g(x)]\cdot g'(x)dx=H[g(x)]+C}$

Note que $D_{x}[H(g(x))+C]=H'(g(x))\cdot g'(x)+0=H'(g(x))\cdot g'(x)$ , como es una primitiva de entonces por lo que:

$H'[g(x)]\cdot g'(x)=f[g(x)]\cdot g'(x)$ .

Luego tenemos que:

$ds{\int [g(x)]^{n}\cdot g'(x)dx=\displaystyle {\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1}+C,\;\;n\neq -1}}$ . ĄCompruébelo!
$ds{\int x^{n}dx=\displaystyle {\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\;x\neq 1}}$ ĄCompruébelo!

El caso en que será estudiado luego.

Ejemplos:

$ds{\int xdx=\displaystyle {\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=frac{x^{2}}{2}}}$
$ds{\int 4x^{5}dx=4\int x^{5}dx=\displaystyle {a\frac{x^{6}}{6}+C=\frac{2x^{6}}{3}+C}}$
$ds{\int x^{\frac{-3}{7}}dx=\displaystyle {\frac{x^{\frac{-3}{7}+1}}{\frac{-3}{7}+1}+C=\frac{x^{\frac{4}{7}}}{\frac{4}{7}}+C=\frac{7}{4}x^{\frac{4}{7}}+C}}$
$ds{\int (2x+1)^{5}dx}$

Note que $D_{x}(2x+1)=2$ , por lo que es necesario multiplicar por y $\displaystyle {\frac{1}{2}}$ de la siguiente manera:

$=\displaystyle {\frac{1}{2}\int 2(2x+1)^{5}}dx$

$=\displaystyle {\frac{1}{2}\int \frac{(2x+1)^{6}}{6}+C=\frac{(2x+1)^{6}}{12}+C}$
$\displaystyle {\int \frac{5x}{\sqrt{3x^{2}+4}}dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{3x^{2}+4}}}$ Note que $D_{x}(3x^{2}+4)=6x$

$=\displaystyle {\frac{5}{6}\int 6x(3x^{2}+4)^{\frac{-1}{2}}dx}$

$=\displaystyle {\frac{5}{6}\cdot \frac{(3x^{2}+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+ C}$

$=\displaystyle {\frac{5}{3}\sqrt{3x^{2}+4}+C}$
$ds{\int (2+y)(4y+y^{2}+5)^{\frac{1}{3}}dy}$
Note que

$=\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot \int 2(2+y)(4y+y^{2}+5)^{\frac{1}{3}}dy}$

$=\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot \int (4+2y)(4y+y^{2}+5)^{\frac{1}{3}}dy}$

$=\displaystyle {\frac{1}{2}\cdot \frac{(4y+y^{2}+5)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{8}(4y+y^{2}+5)^{\frac{4}{3}}+C}$