Lic. Elsie Hernández S..

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Integral de la función exponencial de base e

Recuerde que $D_{x}e^{x}=e^{x}$ y que $D_{x}\left[e^{g(x)}\right]=e^{g(x)}\cdot g'(x)$

Luego $ds{\int e^{x}dx=e^{x}+C}$ y $ds{ds{\int e^{g(x)}\cdot g'(x)=e^{g(x)}+C}}$

Ejemplos:

  1. $ds{\int e^{2x}dx}$ en este caso $D_{x}(2x)=2$, por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener la integral completa.

    $\displaystyle {=\frac{1}{2}\int 2\;e^{2x}dx=\frac{1}{2}\;e^{2x}+C}$

  2. $ds{\int 5xe^{3x^{2}}dx}$ Note que $ds{D_{x}(3x^{2})=6x}$

    $ds{=5\cdot \displaystyle {\frac{1}{6}\int 6x\cdot e^{3x^{2}}dx=\frac{5}{5}\;e^{3x^{2}}+C}}$

  3. $\displaystyle {\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}$ Note que $D_{x}(\sqrt{x})=\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

    $ds{=2\int \displaystyle {=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx=2\;e^{\sqrt{x}}+C}}$


  4. $\displaystyle {\int \frac{e^{arc\;tan\;x}}{1+x^{2}}dx}$ Recuerde que $D_{x}\left(arc\;tan\;x\right)=\displaystyle {\frac{1}{1+x^{2}}}$

    $=\displaystyle {\int \frac{1}{1+x^{2}}\;\;e^{arc\;tan\;x}\;dx=e^{arc\;tan\;x}+C}$

Ejercicios para el estudiante:

  1. $\displaystyle {\int \frac{4x}{e^{5x^{2}}}dx}$

  2. $\displaystyle {\int e^{x}(2+3e^{x})^5}dx$

  3. $\displaystyle {\int \frac{e^(3+ln x)}{x}dx}$

  4. $\displaystyle {\int x(e^{4x^{2}}-x+1)dx}$

  5. $\displaystyle {\int \frac {e^{tan\;x}}{cos^{2}\;x} dx}$

  6. $\displaystyle {\int \frac {e^{2}}{\sqrt{4-6e^{x}}}dx}$ 

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