Problemas de valor inicial y de frontera
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la
solución general de una ecuación diferencial, sino en una
solución particular que satisfaga
ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor
inicial o de frontera.
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Definición
[ Problema de valor inicial] |
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Un problema de valor inicial o de Cauchy
consta de una ecuación diferencial de orden y de
condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus
primeras derivadas en un valor de la variable independiente.
Es decir
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Es decir
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal
que su aceleración en cualquier tiempo está dada
por
. Encuentre la posición de la
partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente
la partícula está localizada en y está viajando a una
velocidad de .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la
velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el
problema de valor inicial sería
Integrando con respecto a obtenemos
y usando la condición podemos hallar que , con
lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería
Integrando de nuevo
y usando la condición
podemos determinar que
y obtener la posición de la partícula en cualquier
tiempo
En la figura 7 se muestra la gráfica de la
posición de la partícula versus tiempo.
Figura 7
Ejemplo
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la
recta tangente en el punto está dada por .
¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto
?
El problema de valor inicial asociado es
Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables
e integrar
Y usando la condición inicial obtenemos que , con
lo cual la curva buscada es , la cual se muestra en
la figura 8.
Figura 8
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Definición
[ Problema de valor
frontera] |
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Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet
consta de una ecuación diferencial
ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas
sobre la función desconocida en valores de la variable independiente. |
.Es decir
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal
que su aceleración en cualquier tiempo está dada
por
. Encuentre la posición de la
partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente
la partícula está localizada en y en está en
.
El problema de valores de frontera asociado es
Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula
está dada por
Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema
de donde y . Y así la posición de la partícula
en cualquier tiempo está dada por
La gráfica de la posición se muestra en la figura
7.
Revista digital Matemática, Educación e Internet.
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