|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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  Problemas de valor inicial y de frontera

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.

 

	Definición  [ Problema de valor inicial]
	Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden $n$ y de $n$ condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus $n-1$ primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

 Es decir

$$\begin{array}{rcl} \frac{d^n y}{d x^n} & = & f(x,y,y^{(1)}... ... = & \vdots \\ y^{(n)} (x_0) & = & y_{n-1} \\ \end{array}$$

Ejemplo

Una partícula $P$ se mueve a lo largo del eje $x$ de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo $t \geq 0$ está dada por $a(t) = 8 - 4t + t^2$. Encuentre la posición $x(t)$ de la partícula en cualquier tiempo $t$, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en $x=1$ y está viajando a una velocidad de $v=-3$.

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

$$\begin{array}{rcl} \frac{d^2 x}{d t^2} & = & 8 - 4t + t^2 \\ x(0) & = & 1 \\ x^{\prime} (0) & = & -3 \\ \end{array}$$

Integrando con respecto a $x$ obtenemos

$$\frac{dx}{dt} = 8t - 2t^2 + \frac{t^3}{3} + A$$

y usando la condición $x(0)=1$ podemos hallar que $A = -3$, con lo cual la velocidad en cualquier tiempo $t$ sería

$$\frac{dx}{dt} = 8t - 2t^2 + \frac{t^3}{3} - 3$$

Integrando de nuevo

$$x(t) = 4t^2 - \frac{2}{3} t^3 + \frac{1}{12} t^4 - 3t + B$$

y usando la condición $x^{\prime}(0)=-3$ podemos determinar que $B=1$ y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo $t$

$$x(t) = \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3}t^3 + 4t^2 - 3t + 1$$

En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.

 

 

Figura 7

 

Ejemplo
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto $(x,y)$ está dada por $\frac{x}{y}$. ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto $(1,2)$ ?

El problema de valor inicial asociado es

$$\begin{array}{rcl} \frac{dy}{dx} & = & \frac{x}{y} \\ y(1) & = 2 \\ \end{array}$$

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar

$$y dy = x dx \Rightarrow \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = C$$

Y usando la condición inicial $x(1)=2$ obtenemos que $C=3$, con lo cual la curva buscada es $y^2 - x^2 = 3$, la cual se muestra en la figura 8.

 

Figura 8

 

 

 

	Definición  [ Problema de valor frontera]
	Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ y de $n$ condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en $n$ valores de la variable independiente.

.Es decir

$$\begin{array}{rcl} \frac{d^n y}{d x^n} & = & f(x,y,y^{(1)}... ...s & = & \vdots \\ y(x_{n-1}) & = & y_{n-1} \\ \end{array}$$

 

Ejemplo

Una partícula $P$ se mueve a lo largo del eje $x$ de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo $t \geq 0$ está dada por $a(t) = 8 - 4t + t^2$. Encuentre la posición $x(t)$ de la partícula en cualquier tiempo $t$, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en $x=1$ y en $t=2$ está en $x=7$.

El problema de valores de frontera asociado es

$$\begin{array}{rcl} \frac{d^2 x}{d t^2} & = & 8 - 4t + t^2 \\ x(0) & = & 1 \\ x(2) & = & 7 \\ \end{array}$$

Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por

$$x(t) = \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3} t^3 + 4 t^2 + A t + B$$

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

$$\left \{ \begin{array}{rcl} B & = & 1 \\ 2 A + B & = & -5 \\ \end{array} \right.$$

de donde $A = -3$ y $B=1$. Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo está dada por

$$x(t) = \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3}t^3 + 4t^2 - 3t + 1$$

La gráfica de la posición $x(t)$ se muestra en la figura 7.

 

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