|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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  Existencia y unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?

2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?

3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

 

Ejemplo
Dado el problema de valor inicial

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} (x) & = & x \sqrt{y} \\ y(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$

no resulta difícil comprobar que $y = \frac{ x^4}{16}$ es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que

$$\frac{dy}{dx} = x \sqrt{y} = \Rightarrow \frac{dy}{\sqrt{y}} = x dx \Rightarrow 2 \sqrt{y} = \frac{x^2}{2} + c$$

Y usando la condición inicial $y(0)=0$ obtenemos que $c=0$, con lo cual la solución sería $y = \frac{ x^4}{16}$. Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por $\sqrt{y}$ lo cual supone que $y \neq 0$, pero podemos verificar que $y=0$ es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

 

 

Teorema

Sea $R = [a,b] \times [c,d] \subset R^2$ tal que $(x_0,y_0) \in \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$. Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $R$, entonces existe un intervalo abierto $I$, centrado en $x_0$ y una función $y(x)$ definida en $I$, que satisface el problema de valor inicial $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dy}{dx} & = & f(x,y) \\ y(x_0) & = & y_0 \\ \end{array} \right.$$

Ejemplo:
En el ejemplo anterior tenemos que $f(x,y)=x \sqrt{y}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{2 \sqrt{y}}$, las cuales son continual en el semiplano definido por $y>0$; por consiguiente, el teorema garantiza que para cada punto $(x_0,y_0)$ con $y_0 > 0$ de ese semiplano, hay un intervalo centrado en $x_0$ en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dy}{dx} & = & x \sqrt{y} \\ y(2) & = & 1 \\ \end{array} \right.$$

tiene solución única, mientras que para los problemas en donde $y(x_0)=0$ el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.

 

Ejemplo:

Hallar los valores de $a$ y $b$ para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial

$$\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \frac{x}{y} \\ y(a) & = & b \\ \end{array} \right.$$

tiene solución única.

Como la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x}{y^2}$ y $f(x,y)=\frac{x}{y}$ son continua en todo punto $(x,y)$ donde $y \neq 0$, el teorema garantiza que existe una solución en el conjunto ${(x,y) \in \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$} ^2 \Vert y \neq 0 }$.

El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.

Subsecciones

• Ejercicios

 

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