|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  

 

 

 

  Método de Euler

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial


\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\frac{dy}{dx} & = & f(x,y) \\
y(x_0) & = & y_0
\end{array}
\end{displaymath} (1.12)

Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a  la curva $y=f(x)$ está dada por $f^{\prime}(x_n)$ y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante


\begin{displaymath}
\frac{y_{n+1}-y_n}{x_n + h - x_n} = \frac{y_{n+1}-y_n}{h}
\end{displaymath} (1.13)

siempre y cuando $h$ sea pequeño. De aquí obtenemos que


\begin{displaymath}
f^{x_n} \approx \frac{y_{n+1}-y_n}{h} \Rightarrow y_{n+1} = y_n + h f^{\prime}(x_n)
\end{displaymath}

Con lo cual podemos usar el punto $(x_0,y_0)$ para construir el siguiente punto $(x_1,y_1)$ y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:


\begin{displaymath}
(x_0,y_0), (x_1,y_1), \cdots, (x_n,y_n)
\end{displaymath}

los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos


\begin{displaymath}
(x_0, y(x_0)), (x_1,y(x_1)), \cdots, (x_n, y(x_n))
\end{displaymath}

 
Figura 9

Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.12 obtenemos el método de Euler


\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
y_{n+1} & = & y_n + h f(x_n,y_n) \\
x_n & = & x_0 + n*h \\
\end{array}
\end{displaymath}



Revista digital Matemática, Educación e Internet.