|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  

Método de Euler Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial $$\begin{array}{rcl} \frac{dy}{dx} & = & f(x,y) \\ y(x_0) & = & y_0 \end{array}$$ (1.12) Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a  la curva $y=f(x)$ está dada por $f^{\prime}(x_n)$ y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante $$\frac{y_{n+1}-y_n}{x_n + h - x_n} = \frac{y_{n+1}-y_n}{h}$$ (1.13) siempre y cuando $h$ sea pequeño. De aquí obtenemos que $$f^{x_n} \approx \frac{y_{n+1}-y_n}{h} \Rightarrow y_{n+1} = y_n + h f^{\prime}(x_n)$$ Con lo cual podemos usar el punto $(x_0,y_0)$ para construir el siguiente punto $(x_1,y_1)$ y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos: $$(x_0,y_0), (x_1,y_1), \cdots, (x_n,y_n)$$ los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos $$(x_0, y(x_0)), (x_1,y(x_1)), \cdots, (x_n, y(x_n))$$   Figura 9 Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.12 obtenemos el método de Euler $$\begin{array}{rcl} y_{n+1} & = & y_n + h f(x_n,y_n) \\ x_n & = & x_0 + n*h \\ \end{array}$$ Revista digital Matemática, Educación e Internet.