|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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  Soluciones singulares

 

	Definición  [ Solucion singular de una ecuación diferencial]
	Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

 
 

Ejemplo
La familia de rectas $y = cx + 2c^2$ es la solución general de la ecuación diferencial $y = xy^{\prime} + 2 \left( y^{\prime} \right)^2$. La parábola $x^2 + 8y =0$ es una solución singular.

No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

 

 

Figura 3

Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas $y = cx + 2c^2$, cuando sucede esto decimos que la parábola $x^2 + 8y =0$ es la envolvente de la familia de rectas $y=cx-2c^2$; como se indica en la siguiente definición.

 

	Definición  [Envolvente]
	Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.

 

La envolvente de una familia de curvas $f(x,y,c)=0$ satisface el sistema

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x,y,c) & = & 0 \\ f_c(x,y,c) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$

lo cual nos permite hallarla.

 

Ejemplo

Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias $\left(x - c \right)^2 + y^2 = 1$, resolvemos el sistema

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \left(x-c \right)^2 + y^2 & = ... ... 2 \left( x - c \right)^2 & = & 0 \\ \end{array} \right.$$

obteniendo que $x=c$. Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que la envolvente está formada por las rectas $y= \times 1$. La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4.

 

Figura 4

 

Ejemplo

La familia de parábolas $y^2=2cx-c^2$ es la solución general de la ecuación diferencial $y=2xy^{\prime} -y \left( y^{\prime} \right)^2$ y las rectas $y= \pm x$ son soluciones singulares.

Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuación diferencial. En la figura 5 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas $y= \pm x$ son la envolvente de la familia de parábolas $y^2=2cx-c^2$.

 

Figura 5

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