|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Introducción Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría. Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si $y=f(x)$ es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de $y$ con respecto a $x$. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial ([2]). El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración $a$ de un cuerpo de masa $m$ es proporcional a la fuerza total $F$, que actúa sobre él con $\frac{1}{m}$ como constante de proporcionalidad, de modo que $a=\frac{F}{m}$, o sea, $$F = ma$$ (1.1) Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa $m$ cae bajo la sola influencia de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es $mg$, donde $g$ es la aceleración de la gravedad 1.1. Si $y$ es la altura medida hacia abajo desde una cierta posición prefijada, entonces su velocidad es $v=\frac{dy}{dt}$ es la razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración $$a= \frac{dv}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$$ es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en $$m \frac{d^y}{dt^2} = mg \Rightarrow \frac{d^y}{dt^2} = g$$ (1.2) Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1  , la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es $$mg - k \frac{dy}{dt}$$ y la ecuación 1.1 se reduce a $$m \frac{d^2y}{dt^2} = mg - k \frac{dy}{dt}$$ (1.3) Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados.               Figura 1   Revista digital Matemática, Educación e Internet.