|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Ejercicios Use el teorema de existencia y unicidad para determinar si existen soluciones únicas para cada uno de los siguientes problemas de valores iniciales $\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \frac{1}{x^2 + y^2} \\ y(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$ $\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \sqrt{xy} \\ y(1) & = & 0 \\ \end{array} \right.$ $\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \frac{1}{x^2 + y^2} \\ y(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$ $\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \frac{1}{x^2 - y^2} \\ y(1) & = & 2 \\ \end{array} \right.$ Muestre que $y= \frac{1}{4} \left(x + c \right)^2$ y $y=0$ son soluciones de la ecuación diferencial $y^{\prime} = \sqrt{y}$. Discuta sobre la relación de estas soluciones con el teorema de existencia y unicidad. Determine una región $R$ del plano $xy$ para la cual la ecuación diferencial $y^{\prime} = 1 +y^2$ tenga solución única en el punto $(x_0,y_0)$. Determine los valores de $a$ y $b$ de forma que el problema de valor inicial $$\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & \frac{x}{y} \\ y(a) & = & b \\ \end{array} \right.$$ ¿ Que dice el teorema de existencia unicidad respecto a la solución del problema de valor inicial $$\left \{ \begin{array}{rcl} y^{\prime} & = & 3 \sqrt[3]{y^2} \\ y(0) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$   - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR