|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Ejercicios Compruebe que la familia de rectas $y=cx+c^2$ es solución de la ecuación diferencial $y=xy^{\prime} + \left(y^{\prime} \right)^2$. Determine un valor de $k$ de forma que $y=kx^2$ sea una solución singular de la ecuación diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. Compruebe que la familia de rectas $y=cx+ \sqrt{1 + c^2}$ es solución de la ecuación diferencial $y=xy^{\prime} + \sqrt{1 + \left( y^{\prime} \right)^2}$. Demuestre que el círculo $x^2 + y^2 =1$ es una solución singular de la ecuación diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. Compruebe que la familia de curvas $y = \frac{1 + Ce^{2x}}{1 - ce^{2x}}$ es solución de la ecuación diferencial $y^{\prime} = y^2 - 1$. Determine una solución singular para la ecuación diferencial. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares. Compruebe que si $y^{\prime} = y^p$, donde $0<p<1$ tiene soluciones tiene soluciones $y=0$ e $y=\left(1-p \right) \left(x + p \right)^{\frac{1}{1-p}}$. Examine los casos especiales $p=\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{2}{3}$. Discuta la relación entre estas soluciones. Existen otras soluciones además de las dadas. Discuta los casos $p \leq0$ y $p \geq 1$.   - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR