En este artículo se presentan cuatro propiedades topológicas del conjunto de los números reales, IR, que, evidentemente o no, resultan ser todas equivalentes al Axioma del Extremo Superior (AES).

1. Definiciones y notación

Veamos primero algunas definiciones (para otras definiciones más básicas, vea también el Glosario).
Si X es un espacio métrico, entonces:

(a) X es completo si cualquier sucesión de Cauchy en X es convergente.

(b) X es conexo si no es la unión de dos conjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos.

(c) X cumple la propiedad de Heine-Borel (X es HB) si todo subconjunto de X, cerrado y acotado, es compacto.

(d) X cumple la propiedad de Cantor si cualquier sucesión decreciente de conjuntos cerrados en X, no vacíos, tiene intersección no vacía.

Además, si X es totalmente ordenado entonces X es orden-completo si todo subconjunto no vacío de X, acotado superiormente, tiene extremo superior. Y si X es un campo ordenado entonces X es arquimediano si para cualesquiera x, y X con 0 < x existe n IN tal que y < n · x.
 (Aquí n · x significa x + ··· + x, donde + es la suma en el campo X. IN, por supuesto, denota al conjunto de los números naturales y podría no estar contenido en X; de ahí la necesidad de hacer explícito lo que entendemos por n· x.)

Ya sabemos que IR cumple todas esas propiedades. Al construir IR axiomáticamente se requiere que sea un cuerpo totalmente ordenado (axiomas de campo y de orden) y que sea orden-completo (AES). Entonces puede demostrarse que IR satisface esas cuatro propiedades recién enunciadas: completitud, conexidad, propiedades de Heine-Borel y de Cantor, y arquimedianidad (todas esas demostraciones pueden encontrarse en [Apostol]).

En cualquier demostración de estas propiedades se usa, directa o indirectamente, el AES. Veremos dentro de poco que ese axioma es indispensable. Más aún, veremos que cada una de las propiedades (a)-(d) es equivalente al AES, y la manera de hacerlo será demostrar el citado axioma a partir de dichas propiedades de IR.

Un poco de notación: Si X es un espacio métrico y A X, entonces:

(a) es la adherencia o clausura de A: = {  x X | cualquier abierto que contenga a x interseca a A }.

(b) es el interior de A: = {  x X | existe un abierto contenido en A que contiene a x }.

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