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5. Apéndice
Faltó demostrar que la sucesión (kn)IN, construida en (d)(a), tiende a . He aquí la prueba, pero primero recordemos que Bn = { k IN | xn + no es cs de A } y kn = minBn. Notemos dos resultados preliminares. En primer lugar, que (kn) es creciente: Como xn+1 + no es cs de A, existe y A tal que
Y como claramente xn
< xn+1, entonces xn +
< y, así que xn +
no es cs de A; es decir, kn+1
Bn. Por último, como kn = minBn,
debe ser kn
kn+1. Por lo tanto la sucesión (kn)
es creciente.
Para n = 1, es simplemente la definición de x2. Y si lo suponemos cierto para algún n, entonces:
así que la afirmación vale también
para n+1.
de donde concluimos que M < kN.
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