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5. Apéndice

Faltó demostrar que la sucesión (kn)IN, construida en (d)(a), tiende a . He aquí la prueba, pero primero recordemos que

Bn = {  k IN | xn + no es cs de A  }    y    kn = minBn.

Notemos dos resultados preliminares. En primer lugar, que (kn) es creciente: Como xn+1 + no es cs de A, existe y A tal que

Y como claramente xn < xn+1, entonces xn + < y, así que xn + no es cs de A; es decir, kn+1 Bn. Por último, como kn = minBn, debe ser kn kn+1. Por lo tanto la sucesión (kn) es creciente.

Y en segundo lugar, veamos por inducción que

Para n = 1, es simplemente la definición de x2. Y si lo suponemos cierto para algún n, entonces:

así que la afirmación vale también para n+1.

Ahora estamos listos para probar que kn . Sea M IR. Debemos probar que existe un N IN tal que n N kn > M. Podemos suponer que M > 0.

Tome cualquier cs c de A. Por arquimedianidad, existe un N IN tal que c - x1 < N  ; es decir, x1 + > c. Como además xN+1 A y c es cs de A, y recordando la desigualdad que acabamos de probar, tenemos

de donde concluimos que M < kN.

Y por último, como (kn) es creciente, resulta que kn kN > M para todo n N, como queríamos probar.

 
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