|
3.4 Prueba de (e) (a)
Suponemos que IR es arquimediano con la propiedad de Cantor.
Sea i 
IN. Tome una cs y de A; como IR es arquimediano, existe un k
tal que y <  ,
de modo que k / i también es cs de A. Entonces el
conjunto { k
| k / i es cs de A } no es vacío. Sea ki
su mínimo (de modo que ki / i es cs de A
pero ( ki-1 ) / i no lo es).
Ahora defina, para n = 1, 2, ...,
Veamos que Bn 
Ø: Como m = max{ 
| i = 1, ...,n } no es cs de A, y M =
min{ 
| i = 1, ... ,n } sí lo es, entonces m < M.
Así, Bn = [m, M]
Ø.
Ahora, por la propiedad de Cantor (es claro que (Bn) es
una sucesión decreciente de cerrados), la intersección B de los Bn
no es vacía. Además tiene sólo un punto, porque si x, y
B entonces
lo que por arquimedianidad implica que
| x - y | = 0; es decir, x = y.
Llamemos b a este único elemento de B, y veamos que b =
supA:
-
(i) Que b es cs de A:
Sea x > b. Por arquimedianidad existe i
IN tal que 1 < i ( x-b ), de donde sigue que 1/i
< x-b y entonces b < x - 1/i.
Además, como b
B, debe ser ( ki - 1 ) / i 
b.
Conectando las dos últimas desigualdades tenemos que
-
-
y como ki/i
es cs de A, se concluye que x 
A, 
x > b.
-
-
(ii) Sea 
> 0. Que b -
no es cs de A:
Por arquimedianidad existe i
IN tal que 1/i < .
Como b
ki/i entonces
-
Y como (ki
-1) / i no es cs de A, b -
tampoco puede serlo.
En conclusión, b = supA.
Comentarios: La idea
aquí es "encajar'' el extremo superior de A con intervalos
cuyos extremos derechos forman una sucesión decreciente de cotas de A
y cuyos extremos izquierdos forman una sucesión creciente de no-cotas de A,
ambas sucesiones convergiendo a un mismo punto que debe ser entonces la
frontera entre las cotas y las no-cotas; es decir, supA.
|
