4. Conclusión

Hemos demostrado que el Axioma del Extremo Superior es equivalente a cada una de cuatro propiedades topológicas del conjunto IR. No todo lo que hicimos es exclusivo de IR, sin embargo. 

Por ejemplo:

• La equivalencia entre (a) y (b) es válida sustituyendo IR por cualquier conjunto X totalmente ordenado y con la topología del orden (vea el Glosario), y tal que para todos los a, b X, si a < b existe c X tal que a < c < b. En realidad, en presencia de un orden total (y la topología que induce) esta última condición, junto con (a), es equivalente a (b). (Vea [Kelley], ejercicio 1.I.d.).
  
  

• También la equivalencia entre (a) y (c) es válida sustituyendo IR por cualquier conjunto totalmente ordenado y con la topología del orden (vea [Kelley], ejercicio 5.C).

Como dijimos antes, el camino seguido aquí no es el más corto. Por ejemplo, se sabe que la propiedad de Cantor y la completitud son equivalentes en cualquier espacio métrico (Teorema de Cantor, vea [Iribarren], Sección 5.6). Además, el hecho de que todo espacio métrico compacto es completo ([Iribarren], Sección 5.3) permitía utilizar (d)(a) para probar (c)(a). Sin embargo, me parece que el camino que seguimos ilustra más directamente las relaciones entre el AES y las demás propiedades con las que tratamos.

Hay otra propiedad de IR que, según he oído, equivale también al AES: cualquier función real definida sobre un intervalo [a,b], continua casi por doquier, es Riemann-integrable. Dejo abierto el problema.

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