3. El teorema central

El siguiente teorema constituye la parte central de este artículo. Recuerde que todo lo que se sabe de IR es que es un campo totalmente ordenado.


Teorema: Las siguientes cinco afirmaciones son equivalentes:

(a) IR es orden-completo (AES)

(b) IR es conexo

(c) IR es HB

(d) IR es arquimediano y completo

(e) IR es arquimediano y cumple la propiedad de Cantor.

Es bien sabido que (a) implica las otras cuatro afirmaciones. Lo que haremos en este artículo es probar los recíprocos. Es decir, probaremos el AES de cuatro maneras distintas.

El plan de demostración es, simplemente, (b)(a), (c)(a), (d)(a) y (e)(a). Posiblemente no sea éste el camino más corto, pero creo que sí es bastante ilustrativo.

En cada caso supondremos que A IR es no vacío y acotado superiormente, y demostraremos que A tiene extremo superior.

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