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Veamos por último que b = supA:
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(i) Que b es cs de A:
Sea c > b. Como kn
  ,
existe n 
IN tal que kn > 1 +  ;
luego
c > b +  > xn +
,
y como este último
número es cs de A, concluimos que c 
A, 
c > b.
(ii) Sea 
> 0. Que b -
no es cs de A:
Como xn
b, existe n
IN tal que |b - xn| <,
por lo que b -
< xn.
Como
xn
A, b -
no puede ser cs de A.
Por lo tanto, b = supA,
con lo que acaba la prueba.
Comentarios: Aquí se
construye una sucesión de Cauchy dentro de A, que crezca "lo
más rápido posible'', de la siguiente manera:
Se escoge x1
A. Si x1 + 1 no es cs de A, se escoge x2
A, mayor que x1 + 1; si x2 + 1 no es
cs de A se escoge x3
A mayor que x2+1, y así se continúa. Cuando
xi + 1 sí sea cs de A, se prueba con xi
+ ,
xi +  ,
etc, hasta encontrar un k tal que
xi + 
no sea cs de A y se pueda escoger xi+1 > xi
+ ,
pero tomando k lo menor posible para que el salto de xi
a xi+1 sea lo mayor posible.
Así se construye una sucesión (xn) cuyo límite es
mayor o igual que cualquier elemento de A, y como además la
sucesión está toda en A, su límite no puede ser mayor que ninguna cs
de A; esto es, lim xn = supA.
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