2. Algunos lemas

Antes de enunciar y probar el teorema que motiva este artículo, definamos nuestra posición. Olvidemos lo que sabemos de IR. Supongamos solamente que IR es un cuerpo totalmente ordenado, y a partir de esto veamos "¿qué pasaría si IR fuera completo, o conexo, o HB, etc.?'' Empecemos con unos lemas sencillos pero muy útiles.


Lema 1: Si A IR, x es cota superior (cs) de A, y x A, entonces existe supA y es igual a x.

Prueba:
Por estar x en A, x es menor que cualquier otra cota superior de A. Es decir, x es la menor de las cotas superiores de A.

Lema 2: Sea A IR. Si tiene extremo superior, entonces también A lo tiene y los dos son iguales.

Prueba:

(i) Que sup es cs de A: Inmediato, porque A .

(ii) Sea > 0. Que sup - no es cs de A: 
     Como sup - /2 no es cs de , existe x tal que

 sup - /2 < x.

      Además, como x , hay un y A tal que | x - y |  < /2; es decir, tal que

 

     Conectando las desigualdades obtenemos sup - /2  < x < y  + /2. 
     Esto implica que sup - <  y.
     Por lo tanto, sup - no es cs de A.

          De los puntos (i) y (ii) se concluye que sup =  sup A.

Lema 3: IR es arquimediano IN no es acotado superiormente.

Prueba:

"": Para cada y IR existe un n IN tal que y < n · 1 = n (tomando x = 1 en la       definición de arquimedianidad). Esto quiere decir que ningún y IR es cs de IN.

"": Sean x, y IR con 0 < x. Como IN no es acotado superiormente, y / x no es cs de IN,  por lo que existe n IN tal que y/x < n, y de aquí que y < n · x.

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