3.2 Prueba de (c)(a)

Suponemos que IR es HB.

Tome cualquier a A y defina

Entonces, como IR es HB, A' debe ser compacto porque:

(i) Es obvio que A' es cerrado.

(ii) A' es acotado superiormente por cualquier cota superior de A.

(iii) A' es acotado inferiormente por a, porque si b < a entonces b < < a, y 
], [ es un vecindario de b que no interseca {  x A | x a  }, de modo que b A'.

Supongamos ahora que no existe supA'. Entonces por el Lema 1 tenemos que para cualquier x A', x no es cs de A' y entonces hay un y_x A' tal que x < y_x.

Ahora es claro que {  ], y_x[ | x A'  } es un cubrimiento abierto de A', y por compacidad existen x₁, x₂, ..., x_n A' tales que

donde y_o = max{  y_x1, ..., y_xn  }. Pero esto último es contradictorio, porque y_o pertenece a A' pero no a ],y_o[.

Luego, A' debe tener extremo superior, y según el Lema 2 también A debe tenerlo, como queríamos probar.

Comentarios: Sabemos que A es acotado superiormente. Si también lo fuera inferiormente, su adherencia sería compacta. En todo caso, "recortamos"  A en cualquier punto y eliminamos todo a la izquierda de ese punto. Lo que queda es acotado superior e inferiormente, y su adherencia es lo que denotamos A', compacto. Y los subconjuntos compactos de IR deben tener extremo superior: si no, cada x A', por no ser cota, tendría un vecindario abierto que se extendería a la derecha de x pero sin "salirse a la derecha'' de A'. Esto daría un cubrimiento abierto de A' sin cubrimiento finito, contradiciendo la compacidad de A'.

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