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3.3 Prueba de (d)(a)

Suponemos que IR es completo y arquimediano.

Tome cualquier x1 A y construya inductivamente la sucesión (xn) A:

(i) Si xn es cs de A, entonces xn = supA por el Lema 1. Con esto termina la prueba.

(ii) Si xn no es cs de A, sea y A tal que xn < y. Entonces 0 < y - xn , y por arquimedianidad existe k IN tal que 1 < k ( y - xn ), de donde  < y - xn por lo que

xn + < y

Entonces xn + no es cs de A, y de ahí que el conjunto

Bn = {  k IN | xn + no es cs de A  }

no es vacío. Sea kn = min Bn, y sea xn+1 un elemento de A tal que
xn + < xn+1.

Si la condición (i) se cumple para algún n IN, la prueba termina. Si no, se obtienen dos sucesiones: (xn) A y (kn) IN. La primera es claramente creciente, y la última tiende a infinito (vea la prueba en el Apéndice). Entonces podemos probar que (xn) es de Cauchy:

En efecto, sea > 0. Como kn , existe N IN tal que kN > 1 + , o bien < .

Por la definición de kN resulta que xN +  sí es cs de A, y entonces para todo n > N tenemos
  xN < xn < xN + (porque xn A). Por lo tanto

| xn - xm | < <

para cualesquiera n, m > N, lo que demuestra que la sucesión (xn) es de Cauchy.

Ahora, como suponemos que IR es completo, (xn) debe converger; sea b = lim xn. Como (xn) es creciente, xn < b para todo n.

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