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Jerarquías indexadas

Se considera $\Omega=\{1,\ldots,n\}$ el conjunto de los $n$ objetos a clasificar. Se denota ${\cal P}(\Omega)$ el conjunto de partes de $\Omega $.

Definición 2   $H\subset {\cal P}(\Omega)$ es una jerarquía de objetos sobre $\Omega $ si
  1. $\Omega \in H$ y $\emptyset \not\in\Omega$.
  2. $\forall\ i \in \Omega, \{i\} \in H$.
  3. $\forall\ h_1,h_2 \in H$, se tiene $h_1\cap h_2 = \emptyset$ ó $h_1 \subset h_2$ ó $h_2 \subset h_1$.
Si además
 
4. $\forall\ h \in H$ no unitario, existen $h_1,h_2 \in H$ tales que $h_1\cap h_2 = \emptyset$ y $h_1 \cup h_2 = h$,
se dice que $H$ es una jerarquía binaria.


La pareja $(H,f)$ es una jerarquía indexada si $H$ es una jerarquía y $f:H\rightarrow{\mathbb{R}}^{+}$ satisface:

  1. $\forall\ i \in \Omega, f(\{i\}) = 0$,
  2. $\forall\ h_1,h_2 \in H, h_1\subset h_2 \Rightarrow f(h_1) < f(h_2)$.
Los elementos de una jerarquía $H$ se llaman clases.

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