Agregaciones

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Agregaciones

Además de la disimilitud, HierarchicalTree necesita que se especifique un índice de agregación con el fin de construir la jerarquía. El índice de agregación $\delta$ es una disimilitud definida sobre el conjunto de partes de $\Omega$ , sin que necesariamente $\delta(A,A) = 0$ , para todo $A \subset \Omega$ .

	Agregación	$\delta(h_1,h_2)$
1	`MinDistance`	$\min\{ d(x_i,x_j)\vert x_i \in h_1,x_j \in h_2\}$
2	`MaxDistance`	$\max\{ d(x_i,x_j)\vert x_i \in h_1,x_j \in h_2\}$
3	`MeanDistance`	$\frac{1}{\mu(h_1) \mu(h_2) } \sum_{x_i \in h_1,x_j \in h_2} p_i p_j d(x_i,x_j)$
4	`GravityCenter`	$d^2(g_{h_1},g_{h_2})$
5	`Ward`	$\frac{\mu(h_1) \mu(h_2)}{\mu(h_1)+\mu(h_2)} d^2(g_{h_1},g_{h_2})$
6	`IncreaseVariance`	${\rm var}(h_1\cup h_2) - \frac{\mu(h_1)}{\mu(h_1)+\mu(h_2)} {\rm var}(h_1)$ $- \frac{\mu(h_2)}{\mu(h_1)+\mu(h_2)} {\rm var}(h_2)$
7	`JoinInertia`	$I(h_1\cup h_2)$
8	`JoinVariance`	${\rm var}(h_1\cup h_2)$

Las agregaciones que se encuentran en HierarchicalCluster se muestran en la tabla 4. En estas definiciones, la inercia de una clase es la inercia respecto a su centro de gravedad:

$\begin{displaymath}I(h) = \sum_{x_i \in h} p_i d^2(x_i,g_h),\end{displaymath}$

donde

es el peso asociado al individuo

y $\mu(h)$ es el peso del conjunto $h \in {\cal P}(\Omega)$ . Se define también ${\rm var}(h) = I(h)/\mu(h)$ como la varianza de

En la implementación de las agregaciones anteriores, se supone que y $\mu(h) = \frac{\mbox{card}(h)}{n}$ , y se usa la fórmula de Lance, Williams & Jambu:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \delta(h_1\cup h_2,h) & = & a_1 \delta(h_1... ...\ \ + a_7 \vert\delta(h,h_1) - \delta(h,h_2)\vert. \end{array} \end{displaymath}$

Cada función MinDistance, MaxDistance, MeanDistance, GravityCenter, IncreaseVariance,
Ward, JoinInertia, y JoinVariance está definida como una función de nueve parámetros: las cardinalidades de y , (denotadas ca,cb,cc), las agregaciones $\delta(h_1,h_2)$ , $\delta(h_1,h)$ y $\delta(h_2,h)$ (denotadas dab, dac, dbc) y los índices , y (denotados fa,fb,fc). Por ejemplo, en el caso de la agregación de Ward, su definición es:

Ward[ca_,cb_,cc_,dab_,dac_,dbc_,fa_,fb_,fc_] :=
With[{abc = ca+cb+cc}, ((ca+cc)dac + (cb+cc)dbc - cc dab)/abc]

HierarchicalTree acepta como agregación cualquier función de los nueve parámetros mencionados arriba; así, el usuario puede especificar nuevos índices de agregación siempre que respete el orden de los parámetros y que la evaluación sea un número positivo.