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Representación de jerarquías binarias

Para construir y manipular jerarquías binarias con los procedimientos de HierarchicalCluster en MATHEMATICA se ha escogido la forma de representación siguiente. Una jerarquía binaria indexada $(H,f)$ será representada por una lista estructurada como un árbol binario, denotado $N(H)$, y tal que cada clase $h \in H$ es asociada a un nodo, $N(h)$, definido como sigue.

 

Definición 3   Se define el nodo $N(h)$ asociado a la clase $i$ por:
  1. Para cada $i \in \Omega$, $N(\{i\}) = i$.
  2. Si $h \in H$ es el resultado de unir las clases $h_1$ y $h_2$ de $H$, en el paso $k$ del algoritmo de clasificación jerárquica ascendente (cf. 3.2 más abajo), entonces

    \begin{displaymath}N(h) = \{f(h) + k I,N(h_1),N(h_2)\} \end{displaymath}

donde $I$ es la unidad imaginaria en MATHEMATICA.

Se puede notar que esta definición es recursiva y que:

  • Los conjuntos unitarios de $H$, $\{i\}$, se representan por los símbolos o enteros $i$ de $\Omega $. Estos nodos se llaman las hojas del árbol $N(H)$.
  • Cada nodo $N(h)$ del árbol, diferente de una hoja,

    \begin{displaymath}N(h) = \{f(h) + k I,N(h_1),N(h_2)\} \end{displaymath}

    forma una rama cuyas hojas forman los elementos de la clase $h$ y su raíz (o cabeza) es el número complejo 3    cuya parte real es $f(h) = \delta(h_1,h_2)$ y la parte imaginaria es $k$, es decir el nivel en el cual se formó el nodo durante la unión de las clases $h_1$ y $h_2$.
  • $N(\Omega) = N(H)$.

 

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