Lic. Elsie Hernández S..a

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Ejemplos

En cada caso calcular la longitud del arco de curva que se indica.

Ejemplo 1: $\displaystyle y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$, desde $x=0$ hasta $x=3$.

Solución:

Designemos con $L$ la longitud del arco.

Como $\displaystyle y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$, entonces $\displaystyle \frac{dy}{dx}=x\sqrt{x^2+2}$

Luego:

\begin{eqnarray*} L&=&\displaystyle \int_0^3\sqrt{1+\left[x\sqrt{x^2+2}\right]... ... &=&\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\bigg\vert _0^3\\ [2mm] &=&12 \end{eqnarray*}

Ejemplo 2:  $9x^2=4y^3$, desde $(0,0)$ hasta $(2\sqrt{3},3)$

Solución:

En este caso, tomemos $x$ como variable dependiente y obtengamos $\displaystyle \frac{dx}{dy}$ por medio de derivación implícita: $\displaystyle 18x\frac{dx}{dy}=12y^2$ de donde $\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{2y^2}{3x}$

Luego, la longitud $L$ del arco está dada por:

\begin{eqnarray*} L&=&\int_0^3 \sqrt{1+\left(\frac{2y^2}{3x}\right)^2}\,dy\\ [... ...\ [2mm] &=&\frac{16}{3}-\frac{2}{3}\\ [2mm] &=&\frac{14}{3} \end{eqnarray*}

Ejemplo 3: $x=\displaystyle \frac{y^4}{4}+\frac{1}{8y^2}$, desde $y=1$ hasta $y=2$

Solución

Obtenemos de nuevo $\displaystyle \frac{dx}{dy}$, pues $x=h(y)$

\begin{displaymath}\frac{dx}{dy}=y^3-\frac{1}{4y^3}=\frac{4y^6-1}{4y^3}\end{displaymath}
 
\begin{eqnarray*} \textrm{Luego: }L&=&\int_1^2\sqrt{1+\left(\frac{4y^6-1}{4y^3}... ...left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)\\ [2mm] &=&\frac{123}{32} \end{eqnarray*}

Ejemplo 4: $(y+1)^2=4x^3$, desde $x=0$ hasta $x=1$

Solución

Obtengamos $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ por medio de derivación implícita:

\begin{displaymath}2(y+1)\frac{dx}{dy}=12x^2\quad\textrm{de donde}\quad\frac{dy}{dx}=\frac{6x^2}{y+1}\end{displaymath}

Luego:
\begin{eqnarray*} L&=&\int_0^1\sqrt{1+\left(\frac{6x^2}{y+1}\right)^2}\,dx\\ [... ...10)^{3/2}-\frac{2}{27}\\ [2mm] &=&\frac{2}{27}(10\sqrt{10}-1) \end{eqnarray*}

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.