Lic. Elsie Hernández S..a

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Ejemplos

Ejemplo 1:

Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=\sqrt{x},\;y=0,\;x=1,\;x=4$.

 Solución


 

 

$i-$ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje $x$ genera un disco circular en forma de cilindro circular recto.



El volumen del $i-$ésimo disco circular es:

\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

La suma de aproximación del volumen:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n \pi(\sqrt{t_i})^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

El volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\displaystyle \int_1^4\pi x\,dx\\ [2mm] &=&\pi\frac{x^... ... &=&8\pi-\frac{\pi}{2}\\ [2mm] &=&\frac{15}{2}\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}


Ejemplo 2:

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de $y=2-x,\;x=0,\;y=0$ gira alrededor del eje $x$.

Solución:

La representación gráfica del sólido de revolución es la siguiente:

 

 

 

El volumen del $i-$ésimo disco circular es:

\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi[2-t_i]^2\cdot \Delta x_i\end{displaymath}

La suma de aproximación del volumen es:
\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n\pi(2-t_i)^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Luego, si $f(x)=2-x$, entonces el volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} \int_0^2[f(x)]^2\,dx&=&\pi\int_0^2(2-x)^2\,dx\\ [2mm] &=&\f... ...{3}(2-x)^3\bigg\vert _0^2\\ [2mm] &=&\frac{8\pi}{3}\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

Ejemplo 3:

Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva $y=\mbox{sen}\,x$, y las rectas con ecuaciones $y=0,\;x=0,\;x=\pi$, gira en torno al eje $x$.

Solución:

La representación gráfica es la siguiente:

        

Si $f(x)=\mbox{sen}\,x$ entonces:

  1. El volumen del $i-$ésimo rectángulo es:
    \begin{displaymath}\displaystyle \pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i=\pi(\mbox{sen}\,t_i)^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

  2. La suma de aproximación del volumen es:
    \begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i_1}^n\pi(\mbox{sen}\,t_i)^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

  3. El volumen del sólido está dado por:

     

    \begin{eqnarray*} \int_0^\pi\pi(\mbox{sen}\,x)^2\,dx&=&\pi\int_0^\pi\frac{1-\co... ...\right)\bigg\vert _0^\pi\\ [2mm] &=&\frac{\pi^2}{2}\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

Ejemplo 4:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje $x$, la superficie comprendida entre las parábolas con ecuaciones $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$.

Solución

La representación gráfica de la región y del $i-$ésimo rectángulo es la siguiente:

 

El volumen del $i-$ésimo anillo circular es:

\begin{displaymath}\pi\big([\sqrt{t_i}]^2-[t_i^2]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
La suma de aproximación del volumen es:
\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi\big([\sqrt{t_i}]^2-[t_i^2]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:
\begin{eqnarray*} V&=&\int_0^1\pi\big[ (\sqrt{x})^2-(x^2)^2\big]\,dx\\ [2mm] ... ...}-\frac{1}{5}\right)-0\\ [2mm] &=&\frac{3}{10}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

Ejemplo 5:

Determinar el volumen del sólido obtenido al girar la región del ejemplo anterior, alrededor del eje $y$.

Solución

El anillo circular tiene como radio máximo $g(t_i)$, y como radio mínimo $f(t_i)$.

 

En este caso tomamos $x$ como la variable dependiente, y se tiene que el volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_0^1\pi\big([g(y)]^2-[f(y)]^2\big)\,dy\\ [2mm] &=&... ...\right)\bigg\vert _0^1\\ [2mm] &=&\frac{3}{10}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

Ejemplo 6:

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor del eje $y$, la parte de la parábola $y^2=4ax$, $a>0$, que intercepta la recta $x=a$

Solución:

La representación gráfica de la región y del $i-$ésimo rectángulo es la siguiente:

 
El anillo circular tiene como radio máximo $x=a$, y como radio interior $\displaystyle x=\frac{y^2}{4a}$.

Tomamos $x$ como la variable dependiente.

 

El volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_{-2a}^{2a}\pi\left[a^2-\left(\frac{y^2}{4a}\right)^... ...2a^5}{80a^2}\right)\\ [2mm] &=&\frac{16}{5}\,a^3\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

Ejemplo 6:

Determinar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones $y=x^2$, $y=4$, gira alrededor de:

  1. el eje $y$
  2. la recta con ecuación $y=4$
  3. el eje $x$
  4. la recta con ecuación $y=-1$
  5. la recta con ecuación $x=2$
Solución
  1. La región en el plano $xy$ que gira alrededor del eje $y$ es la siguiente:

     

     

    Se tiene que el radio del sólido generado es:

    \begin{displaymath}x=\sqrt{y}\end{displaymath}

     

    El volumen del $i-$ésimo elemento sólido es:
    \begin{displaymath}\pi[\sqrt{t_i}]^2\cdot\Delta y_i\end{displaymath}
     
    El volumen del sólido está dado por:

     

    \begin{eqnarray*} V&=&\int_0^4\pi[\sqrt{y}]^2\,dy\\ [2mm] &=&\int_0^4\pi\,y\... ... &=&\pi\frac{y^2}{2}\bigg\vert _0^4\\ [2mm] &=&8\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}
     

La región gira alrededor de la recta con ecuación $y=4$

 

El radio del $i-$ésimo disco circular es:

\begin{displaymath}4-t_i^2\end{displaymath}

El volumen del $i-$ésimo elemento sólido es:

\begin{displaymath}\pi\big[4-t_i^2\big]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

En general, el radio del sólido generado es:

\begin{displaymath}4-y=4-x^2\end{displaymath}

Luego, el volumen del sólido está dado por:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_{-2}^2\pi\big(4-x^2\big)^2\,dx\\ [2mm] &=&\pi\int... ...-\frac{32}{5}\right)\\ [2mm] &=&\frac{512}{15}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

 

 

Note que al girar la región alrededor del eje $x$, el $i-$ésimo elemento sólido tiene como base un anillo circular.

El volumen del $i-$ésimo elemento sólido es:

\begin{displaymath}\left[\pi(4)^2-\pi(t_i^2)^2\right]\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Luego, el volumen del sólido generado está dado por la siguiente integral:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_{-2}^2\pi\big[16-(x^2)^2\big]\,dx\\ [2mm] &=&\int... ...2+\frac{32}{5}\right)\\ [2mm] &=&\frac{256}{5}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}


La región gira alrededor de la recta con ecuación $y=-1$

El radio máximo del anillo circular es $y=5=4+\vert-1\vert$

El radio interior del anillo es $y=x^2+\vert-1\vert=x^2+1$

 

El volumen del $i-$ésimo elemento sólido es:

\begin{displaymath}\left[\pi(5)^2-\pi\left(t_i^2+1\right)^2\right]\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

El volumen del sólido generado está dado por la siguiente integral:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_{-2}^2\left[25\pi-\pi\big(x^2+1\big)^2\right]\,dx\\... ...\frac{16}{3}\right)\\ [2mm] &=&\frac{1088}{15}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}
 
 

La región gira alrededor de la recta con ecuación $x=2$

De nuevo, el $i-$ésimo elemento sólido tiene como base un anillo circular, cuyo radio máximo es $2+\big\vert-\sqrt{t_i}\big\vert$, y cuyo radio interior es $2-\sqrt{t_i}$.

 

 

El volumen del $i-$ésimo elemento sólido es:

\begin{displaymath}\big[\pi(2+\sqrt{t_i})^2-\pi(2-\sqrt{t_i})^2\big]\cdot\Delta y_i\end{displaymath}

Luego, el volumen del sólido está dado por la siguiente integral:

\begin{eqnarray*} V&=&\int_0^4\big[\pi(2+\sqrt{y})^2-\pi(2-\sqrt{y})^2\big]\,d... ...t{y^3}\bigg\vert _0^4\\ [2mm] &=&\frac{128}{3}\,\pi\;(u.l.)^3 \end{eqnarray*}

 

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