Lic. Elsie Hernández S..a

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Ejemplos

Ejemplo1:

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte $1/2$ pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Solución

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje $x$, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que $F=kx$.

Como $x=0,5$ pulgadas cuando $F=20$ libras, entonces $20=k(0,5)$ de donde $k=40$.

Luego, $F=40x$. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas. Luego:

\begin{eqnarray*} W&=&\int_0^340x\,dx\\ [2mm] &=&20x^2\bigg\vert _0^3\\ [2mm] &=&180 \textrm{ pulgadas-libras.} \end{eqnarray*}

Ejemplo 2

Un resorte tiene una longitud natural de 10 pulgadas, y una fuerza de 30 libras lo estira 11,5 pulgadas. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 pulgadas a 12 pulgadas. Luego encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12 pulgadas a 14 pulgadas.

Solución

Como $F=kx$, y $x=11,5$ pulgadas, cuando $F=30$ libras, entonces $30=11,5k$, por lo que $k=60/23$.

El trabajo realizado para estirar el resorte de 10 a 12 pulgadas está dado por:

\begin{eqnarray*} W&=&\int_0^2\frac{60}{23}x\,dx\\ [2mm] &=&\frac{30}{23}x^2... ...\vert _0^2\\ [2mm] &=&\frac{120}{23}\textrm{ pulgadas-libras} \end{eqnarray*}

El trabajo realizado para estirar el resorte de 12 a 14 pulgadas está dado por:

\begin{eqnarray*} W&=&\int_2^4\frac{60}{23}\,x\,dx\\ [2mm] &=&\frac{30}{23}\... ...c{120}{23}\\ [2mm] &=&\frac{360}{23}\textrm{ pulgadas-libras} \end{eqnarray*}

Ejemplo 3:

Una fuerza de 25 kg alarga un resorte 3 cm. Determine el trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más.

Solución

 

Como $F=kx$ y $x=0,03$ m, cuando $F=25$ kg, entonces $k=2500/3$.

El trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más (es decir, hasta 5 cm), está dado por:

\begin{eqnarray*} W&=&\int_{0,03}^{0,05}\frac{2500}{3}\,x\,dx\\ [2mm] &=&\fr... ...3,125}{3}-\frac{1,125}{3}\\ [2mm] &=&\frac{2}{3}\textrm{ kgm} \end{eqnarray*}

Ejemplo 4:

Determinar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6 cm, sabiendo que se necesita una fuerza de 15 kg para alargarlo 1 cm.

Solucción

Según la ley de Hooke $F=kx$, por lo que $15=k\cdot0,01$, de donde $k=1500$.

Luego, $F=1500x$ y el trabajo efectuado para alargar el resorte 0,06 m está dado por:

\begin{eqnarray*} W&=&\int_0^{0,06}1500\,x\,dx\\ [2mm] &=&750\,x^2\bigg\vert _0^{0,06}\\ [2mm] &=&2,7\textrm{ kgm} \end{eqnarray*}

Ejemplo 5:

Un resorte tiene una longitud natural de 6cm. Si 1200 dinas lo comprimen 0,5 cm, calcular el trabajo efectuado al comprimirlo desde 0,6 cm hasta 4,5 cm. ¿Qué trabajo se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm?

Solucción

  1. Como $F=kx$ y $x=0,5$ cm cuando $F=1200$, entonces $k=2400$. Luego $F=2400\cdot x$. El trabajo necesario para comprimir el resorte desde 6 hasta 4,5 cm está dado por:

    \begin{eqnarray*} W&=&\int_0^{1,5}2400\,x\,dx\\ [2mm] &=&1200\,x^2\bigg\vert... ...{1,5}\\ [2mm] &=&1200(1,5)^2\\ [2mm] &=&2700 \textrm{ ergs} \end{eqnarray*}

  2. El trabajo que se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm, está dado por:

    \begin{eqnarray*} W&=&\int_{1,5}^32400\,x\,dx\\ [2mm] &=&1200\,x^2\bigg\vert... ...&=&1200\cdot 9-1200\cdot(1,5)^2\\ [2mm] &=&8100\textrm{ ergs} \end{eqnarray*}

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