Lic. Elsie Hernández S..a

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Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida

Vamos a estudiar la aplicación de la integral definida al concepto de ``trabajo''.

Si una fuerza constante $F$ actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia $x$, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado $W$ se expresa como el producto de la fuerza $F$ por el camino recorrido.

Es decir: $W=F\cdot x$.

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple.

Consideremos una partícula $P$ que se desplaza sobre el eje $x$, desde el punto $(a,0)$ al punto $(b,0)$ por medio de una fuerza $f=F(x),\;x\in[a,b]$.

Dividamos el segmento $[a,b]$ en $n$ partes arbitrarias de longitudes $\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_i,\dots,\Delta x_n$, y tomemos en cada subintervalo $[x_{i-1},x_i]$ un punto arbitrario $t_i$ como se muestra a continuación.

 

 

Cuando la partícula se mueve de $x_{i-1}$ a $x_i$, el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto $F(t_i)\cdot\Delta x_i$.

Luego, la suma:

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^nF(t_i)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

nos dará la expresión aproximada del trabajo de la fuerza $F$ en todo el segmento $[a,b]$.

La suma

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^nF(t_i)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
 
representa una suma integral, por lo que si
\begin{displaymath}\lim_{\max\Delta x_i\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nF(t_i)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza $f=F(x)$ al mover una partícula de $a$ a $b$, a lo largo del eje $x$.

Se tiene entonces que

\begin{displaymath}W=\lim_{\max\Delta x_i\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nF(t_i)\cdot\Delta x_i =\int_a^bF(x)\,dx\end{displaymath}

siendo $F(x)$ la fuerza aplicada a la partícula cuando ésta se encuentra en el punto cuya coordenada es $x$.

Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de $x$ unidades, está dada por la expresión $F=kx$, donde $k$ es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del grosor del alambre, de la temperatura, etc.


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