Lic. Elsie Hernández S..a

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Ejemplos

 

Ejemplo 1:

Hallar el área de la región $R$ limitada por las gráficas de las ecuaciones: $\displaystyle y=\frac{(x-2)^2}{9}-1,\;y=\frac{2}{5}x+\frac{2}{5},\;x=4$

Solución

Gráficamente se tiene:

 

 

Note que las gráficas de $\displaystyle y=\frac{(x-2)^2}{9}-1,\;y=\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}$ se intersecan en el punto $(-1,0)$.

En este caso, el área del $i-$ésimo rectángulo es:

 

\begin{displaymath}\left[\left(\frac{2}{5}t_i+\frac{2}{5}\right)-\left(\frac{(t_i-2)^2}{9}-1\right)\right]\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

 

y la suma de aproximación está dada por:

 

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n{\left\{ \frac{2}{5}t_i+\frac{2}{5} -\left[\frac{(t_i-2)^2}{9}-1\right]\right\}}\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
 

Según la definición 6 se tiene que:

 

\begin{eqnarray*} A&=&\int_{-1}^4\left[ \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}-\frac{(x-2)^2... ...}+\frac{27}{27}-1 \right)\\ [2mm] &=&\frac{235}{27}\;(u.l.)^2 \end{eqnarray*}

 

Ejemplo 2:

Hallar el área de la región $R$ limitada por las gráficas de las ecuaciones $\displaystyle y=\frac{-x}{2}+1,\;x=-2,\;x=4,\;y=0$.

Solución

Gráficamente se tiene:

 

 

La recta con ecuación $\displaystyle y=\frac{-x}{2}+1$ interseca al eje $x$ en el punto $(2,0)$.

Note que la región $R$ está formada por dos partes, las regiones $R_1$ y $R_2$, por lo que el área de $R$ = área de $R_1$ + área de $R_2$.

La región $R_1$ está limitada superiormente por la gráfica de $\displaystyle y=\frac{-x}{2}+1$, inferiormente por la de $y=0$, lateralmente por la de $x=-2$ y $x=2$.

Luego:

 

\begin{eqnarray*} \textrm{\'area de }R_1&=&\displaystyle \int_{-2}^2\left(\frac... ...c{-x^2}{4}+x\right)\bigg\vert _{-2}^2\\ [2mm] &=&4\; (u.l.)^2 \end{eqnarray*}


 

La región $R_2$ está limitada superiormente por la gráfica de $y=0$, inferiormente por la de $y=\displaystyle \frac{-x}{2}+1$, lateralmente por la de $x=2$ y $x=4$.

Luego:

 

\begin{eqnarray*} \textrm{\'area de }R_2 &=&\int_2^4\left[0-\left(\frac{-x}{2}+... ...(\frac{x^2}{4}-x\right)\bigg\vert _2^4\\ [2mm] &=&1\;(u.l.)^2 \end{eqnarray*}

 

Por tanto, el área de $R$ es igual a: $4+1=5\;(u.l.)^2$.

 

Ejemplo 3:

Hallar el área de la región $R$ señalada en la figura adjunta, que está limitada por las gráficas de las ecuaciones: $\displaystyle y=\frac{x^2}{2}-2x+1,\;y=\frac{x}{3}+1,\;y=-x+5$.

 

 

Solución

$R$ puede dividirse en dos regiones $R_1$ y $R_2$.

Las rectas con ecuaciones $y=\displaystyle \frac{x}{3}+1,\;y=-x+5$ se intersecan en el punto $(3,2)$ (¡compruébelo!).

La recta con ecuación $y=-x+5$ y la parábola se intersecan en el punto $(4,1)$.

La recta con ecuación $y=\frac{x}{3}+1$ y la parábola se intersecan en el punto $(0,1)$.

Luego: área de $R$ = área de $R_1$ + área de $R_2$

 

 

 

Entonces: área de $R=6+\displaystyle \frac{31}{3}\;(u.l.)^2$.

 

Ejemplo 4:

Hallar el área de la región $R$ limitada por las gráficas de las ecuaciones $y^2=x,\;y=-x+2$.

Solución

La representación gráfica es la siguiente:

 

Las gráficas se intersecan en los puntos $(1,1)$ y $(4,-2)$ (Verifíquelo algebraicamente).

En esta caso podemos tomar ``$y$'' como variable independiente y $x$ como la variable dependiente, es decir, $x=g(y)=2-y$. Así el área de la región $R$ está dada por:

 

\begin{eqnarray*} &&\int_{-2}^1(2-y-y^2)dy\\ [2mm] &=&\left(2y-\frac{y^2}{2}... ...{3}\right)\bigg\vert _{-2}^1\\ [2mm] &=&\frac{9}{2}\;(u.l.)^2 \end{eqnarray*}


 

Otra forma de obtener el área de la región $R$ es la siguiente:

 

 

Dividimos la región $R$ en dos regiones $R_1$ y $R_2$.

La región $R_1$ está limitada superiormente por la gráfica de $y=\sqrt{x}$, inferiormente por la de $y=-\sqrt{x}$, lateralmente por la de $x=1$ y $x=0$.

Así:

 

\begin{eqnarray*} \textrm{\'area de }R_1&=&\displaystyle \int_0^1\left[\sqrt{x}... ...}(\sqrt{x})^3\bigg\vert _0^1\\ [2mm] &=&\frac{4}{3}\;(u.l.)^2 \end{eqnarray*}


La región $R_2$ está limitada superiormente por la gráfica de $y=-x+2$, inferiormente por la de $y=-\sqrt{x}$, lateralmente por la de $x=1$. Luego:

\begin{eqnarray*} \textrm{\'area de }R_2&=&\int_1^4\left[-x+2-(-\sqrt{x}) \righ... ...}}{3}\right)\bigg\vert _1^4\\ [2mm] &=&\frac{19}{6}\;(u.l.)^2 \end{eqnarray*}


Por tanto:

\begin{eqnarray*} \textrm{\'area de }R&=&\textrm{\'area de }R_1 + \textrm{\'are... ...=&\frac{4}{3}+\frac{19}{6}\\ [2mm] &=&\frac{27}{6}\;(u.l.)^2. \end{eqnarray*}


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