Lic. Elsie Hernández S..a

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Definiciones

La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.

Antes de estudiar casos específicos en que se utiliza la integral definida, daremos las siguientes definiciones:

 

  Definición
  Recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado $[a,b]$ un conjunto de intervalos cerrados:
\begin{displaymath}\{[x_0,x_1],[x_1,x_2],[x_2,x_3],\dots,[x_{n-2},x_{n-1}],[x_{n-1},x_n]\}\end{displaymath}

con  las propiedades:

  1. $[x_0,x_1]\cup[x_1,x_2]\cup\dots\cup[x_{n-2},x_{n-1}],[x_{n-1},x_n]\}=[a,b]$

  2. $[x_{i-1},x_i]\cap[x_i,x_{i+1}]=x_i$ con $i\in\{1,2,\dots,n\}$

  3. $[x_{j-1},x_j]\cap[x_k,x_{k+1}]=\emptyset$ a menos que $k=j$ o $j-1=k+1$.

 

 

Cada intervalo en una partición de $[a,b]$ se llama subintervalo $[a,b]$. Una partición está determinada por los números que son puntos externos de los subintervalos de la partición. Así, una partición que contenga $n$ subintervalos queda determinada por un conjunto de $n+1$ números.

\begin{displaymath}\{x_0,x_1,x_2,\dots,x_{n-1},x_n\},\end{displaymath}
 

donde $x_0=a$, $x_n=b$, $x_{i-1}<x_i$ para $i\in\{1,2,3,\dots,n\}$.

Denotaremos con $P_n$ la partición determinada por este conjunto de $n+1$ números, así:

\begin{displaymath}P_n=\{ [x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-2},x_{n-1}],[x_{n-1},x_n] \} \end{displaymath}

  Definición
  Si $P_n$ es una partición de un intervalo $[a,b]$, la norma $N_p$ de $P_n$ es el mayor de los $n$ números

 

\begin{displaymath}(x_1-x_0),(x_2-x_1),(x_3-x_2),\dots,(x_n-x_{n-1}),\end{displaymath}
 

donde

\begin{displaymath}\Delta x_1=x_1-x_0,\;\Delta x_2=x_2-x_1,\;\dots,\;\Delta x_n=x_n-x_{n-1},\end{displaymath}
 

o sea, $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ para $i\in\{1,2,\dots,n\}$.

 



La norma $N_p$ de una partición $P_n$ es la longitud del más grande de los subintervalos en la gráfica de $P_n$ que se muestra a continuación:

 

 

  Definición
  Si $P_n$ es una partición en un intervalo $[a,b]$, un aumento $T_n$ de la partición es un conjunto de números $\{t_1,t_2,\dots,t_n\}$ tales que
\begin{displaymath}x_0\leq t_1\leq x_1,\;x_1\leq t_2\leq x_2,\; x_2\leq t_3\leq x_3,\; \dots,\; x_{n-1}\leq t_n\leq x_n,\end{displaymath}
 

o sea,      $x_{i-1}\leq t_i \leq x_i$ con $i\in\{1,2,\dots,n\}$.

 

Gráficamente:

 

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.