Lic. Elsie Hernández S..a

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Volumen de sólidos de revolución

 
  Definición
 

Sea $f$ una función definida en el intervalo $[a,b]$.

Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje $x$, la región limitada por la gráfica de $y=f(x)$, el eje $x$ y las gráficas de $x=a$ y $x=b$. El eje $x$ es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje $x$ es un círculo.

 

 

 

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área $A$ de la base por el espesor $d$ (o altura).

 

Consideremos una partición $P_n$ del intervalo $[a,b]$ determinada por el conjunto de números

\begin{displaymath}\{ x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_{n-1},x_n \},\end{displaymath}

donde $\Delta x_i=x_{i-1}-x_i$, con $i\in\{1,2,3,\dots,n\}$.

Sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

Consideremos ahora los $n$ discos circulares, cuyos sensores son $\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_i,\dots,\Delta x_n$, y cuyas bases tienen radios $f(t_1),f(t_2),\dots,f(t_i),\dots,f(t_n)$.

 

El volumen del $i-$ésimo disco es:

\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
 

La suma

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

de los volúmenes de los $n$ discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.

Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:
 


Si existe un número $V$ tal que dada $\epsilon>0$ exista $\delta>0$ para la cual

\begin{displaymath}\left\vert\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i-V\right\vert<\epsilon\end{displaymath}

para toda partición $P_n$ de $[a,b]$ y todo aumento $T_n$ de $P_n$, y con $N_p<\delta$, este número $V$ es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de $y=f(x),\;y=0,\;x=a,\;x=b$ alrededor del eje $x$.

Si $h$ es la función dada por $h(x)=\pi[f(x)]^2$ para $x\in[a,b]$, entonces la suma de aproximación:

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi[f(t_i)]^2\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^nh(t_i)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

donde $t_i\in[x_{i-1},x_i],\;\Delta x_i=x_{i-1}-x_i$.

Luego, de la definición de integral y de la definición de $V$ dada, se tiene que

\begin{displaymath}\displaystyle V=\int_a^bh(x)\,dx=\int_a^b\pi[f(x)]^2\,dx\end{displaymath}
 
 
 

Consideremos ahora dos funciones $f$ y $g$ continuas en el intervalo cerrado $[a,b]$, tales que $f(x)\geq g(x)$ para $x\in[a,b]$. Sea $R$ la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones $y=f(x),\;y=g(x)$ y las rectas con ecuaciones $x=a,\;x=b$.

 

Deseamos determinar el volumen $V$ del sólido de revolución generado al girar la región $R$ alrededor del eje $x$ (note que en este caso no giramos la región $R$ alrededor de una de sus fronteras).

El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

 

 

Sea $P_n$ una partición del intervalo $[a,b]$ determinada por el conjunto de números $\{x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_n\}$ con $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ para $i\in\{1,2,\dots,n\}$, y sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_i,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.

Se muestra a continuación el $i-$ésimo rectángulo y el $i-$ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje $x$.

 

Luego, el área del anillo circular es:

\begin{displaymath}\pi[f(t_i)]^2-\pi[g(t_i)]^2\end{displaymath}

por lo que el volumen del $i-$ésimo elemento sólido será:

\begin{displaymath}\Delta V_i=\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.

 

  Definición
 

Si existe un número $V$ tal que dada $\epsilon>0$ exista $\delta>0$ para la cual


\begin{displaymath}\displaystyle \left\vert\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\Delta x_i-V\right\vert<\epsilon\end{displaymath}
 
 

para toda partición $P_n$ de $[a,b]$ y todo aumento $T_n$ de $P_n$, y con $N_p<\delta$, este número de $V$ es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$, alrededor del eje $x$.

 


Si $h$ es la función dada por $h=\pi\big([f(x)]^2-[g(x)]^2\big)$ para $x\in[a,b]$, entonces la suma de aproximación

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\pi\big([f(t_i)]^2-[g(t_i)]^2\big)\cdot\Delta x_i\end{displaymath}
 

utilizada en la definición 8, puede escribirse como:

\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^nh(t_i)\,\Delta x_i\end{displaymath}

donde $t_i\in[x_{i-1},x_i]$, $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.

Luego se tiene que:

\begin{displaymath}V=\displaystyle \int_a^bh(x)\,dx=\int_a^b\pi\big([f(x)]^2-[g(x)]^2\big)\,dx\end{displaymath}

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