Lic. Elsie Hernández S..a

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Área de una región comprendida entre dos curvas

 

Sean $f$ y $g$ dos funciones con dominio en el intervalo $[a,b]$, tales que $f(x)\geq g(x)$ para $x\in[a,b]$.

Vamos a determinar cuál es el área de la región $R$ limitada por las gráficas de $y=f(x),\; y=g(x),\;x=a,\;x=b$ que se muestra a continuación:

 

 

Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de $R$.

 

Sea $P_n$ una partición de $[a,b]$ en $n$ subintervalos determinados por el conjunto

 

\begin{displaymath}\{ x_0,x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i,\dots,x_{n-1},x_n \},\end{displaymath}

donde $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, $i\in\{1,2,\dots,n\}$.

Sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_{i-1},t_i,\dots,t_{n-1},t_n\}$ un aumento de $P_n$. Construimos $n$ rectángulos cuyos anchos sean los $n$ subintervalos de la partición $P_n$, y cuyas alturas sean:

\begin{displaymath}f(t_1)-g(t_1),\;f(t_2)-g(t_2),\;\dots,\;f(t_i)-g(t_i),\;\dots,\;f(t_n)-g(t_n).\end{displaymath}

El área del $i-$ésimo rectángulo es: $[f(t_i)-g(t_i)]\cdot\Delta x_i$, y la suma de aproximación para el área de $R$ está dada por:

\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^n{[f(t_i)-g(t_i)]\cdot\Delta x_i}\end{displaymath}

Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada subintervalo de la partición $P_n$, obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de $R$.

Se tiene entonces la siguiente definición:


 

  Definición
 

Si $f(x)\geq g(x)$ para $x\in[a,b]$, y si existe un número $A$, tal que dada una $\epsilon>0$ exista una $\delta>0$ para lo cual

\begin{displaymath}\displaystyle \left\vert\sum_{i=1}^n{[f(t_i)-g(t_i)]\cdot\Delta x_i}-A\right\vert<\epsilon\end{displaymath}

para toda partición $P_n$ de $[a,b]$ y todo aumento de $P_n$ con $N_p<\delta$, entonces dicho número $A$ es el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones $y=f(x),\;y=g(x),\;x=a$ y $x=b$.

 

De esta definición se tiene que:

\begin{displaymath}A=\displaystyle \lim_{N_p\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n{[f(t_i)-g(t_i)]\cdot\Delta x_i}\end{displaymath}

Si $h$ es la función definida por $h(x)=f(x)-g(x)$ para $x\in[a,b]$, y si $A$ existe, entonces:

\begin{displaymath}\displaystyle A=\int_a^bh(x)\,dx=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx\end{displaymath}

 

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