Lic. Elsie Hernández S..a

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Ejemplos

 

Ejemplo 

Calculemos el área de la región $R$ limitada por las gráficas de

  $y=1+\displaystyle \frac{6x-x^2}{9}$, $y=0$, $x=5$, $x=0$.

Solución

La representación gráfica es la siguiente:

 

$\qquad\displaystyle f(t_i)=1+\frac{6t_i-t_i^2}{9}$

 

 

El área del i-ésimo rectángulo es:     \begin{displaymath}1+\frac{6t_i-t_i^2}{9}\cdot \Delta x_i\end{displaymath}

 

La suma de aproximación para el área de $R$ es:

\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\left(1+\frac{6i-i^2}{9}\cdot\Delta x_i\right)}\end{displaymath}

(En la gráfica anterior se muestra el $i-$ésimo rectángulo de la aproximación).

Luego de la definición 5 se tiene que:

\begin{eqnarray*} A&=&\int_0^5\left(1+\frac{6x-x^2}{9}\right)dx\\ [2mm] &=&\... ...3}{9}(25)-\frac{125}{27}-0\\ [2mm] &=&\frac{235}{27} (u.l.)^2 \end{eqnarray*}

Ejemplo 2:

Calculemos el área de la región $R$ limitada por las gráficas de $y=\ln x,\;y=0,\;x=e$.

Solución

Gráficamente se tiene:

 

Como $\ln x=0\Longleftrightarrow x=1$, entonces la curva interseca al eje $x$ en el punto $(1,0)$. El área de la región $R$ está dada por:

 
\begin{eqnarray*} A&=&\int_1^e \ln x\,dx \\ [2mm] &=& (x\ln x -x)\Big\vert _1^e \\ [2mm] &=&e\ln e-e-\ln 1+1\\ [2mm] &=&1 (u.l.)^2 \end{eqnarray*}
 
 

Se utilizó por el método de integración "por partes''.

 

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