Lic. Elsie Hernández S..a

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Cálculo de áreas

 

Sea $f$ una función cuyo dominio está en el intervalo cerrado $[a,b]$, tal que $f(x)\geq0$ para $x\in[a,b]$.

Sea $R$ la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: $y=f(x)$, $y=0$ (eje $x$), $x=a$, $x=b$.

 

Sea $P_n$ una partición de $[a,b]$ en $n$ subintervalos determinados por el conjunto $\{x_0,\,x_1,\,x_2,\,\dots,\, x_{n-1},\,x_n\}$, con $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, $i\in\{1,2,\dots,n\}$.

Sea $T_n=\{t_1,t_2,\dots,t_n\}$ un aumento de $P_n$.

Construimos $n$ rectángulos cuyas bases sean los $n$ intervalos de la partición $P_n$ cuyas alturas sean

\begin{displaymath}f(t_1),\;f(t_2),\;\dots,\;f(t_i),\;\dots,\;f(t_{n-1}),\;f(t_n).\end{displaymath}
 
 

El área del $i$-ésimo rectángulo está dada por $f(t_i)\cdot \Delta x_i$; y la suma

\begin{displaymath}\displaystyle \sum_{i=n}^{n}{f(t_i)\Delta x_i}\;\end{displaymath}
 

de las áreas de los $n$ rectángulos será una aproximación al área de $R$.

Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada subintervalo de la partición $P_n$, obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de $R$.

Demos ahora la siguiente definición:

 

  Definición
 


Si $f(x)\geq0$ para $x\in[a,b]$, y si existe un número $A$ tal que dada una $\epsilon>0$, exista $\delta>0$ tal que

\begin{displaymath}\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n}{f(t_i)\,\Delta x_i}\;-A \right\vert< \epsilon\end{displaymath}

para toda partición $P_n$ de $[a,b]$, y todo aumento de $P_n$ en que $N_p<\delta$, entonces este número $A$ es el área de la región limitada por las gráficas de la ecuación $y=f(x),\;y=0,\;x=a,\;x=b$.

 


Note que de esta definición se tiene que:

\begin{displaymath}\displaystyle \lim_{\max\Delta x_i \rightarrow 0}{\left(\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\,\Delta x_i\right)=A}\end{displaymath}

y si $A$ existe, entonces:

\begin{displaymath}A=\int_a f(x)\end{displaymath}

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Revista digital Matemática, Educación e Internet.