|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Ausencia de la variable dependiente Si $y$ no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, es decir, nuestra ecuación tiene la forma $$g(x,y^{\prime},y^{\prime \prime})=0$$ (1.14) En tal caso, introducimos el cambio de variable $$u = y^{\prime} \Rightarrow u^{\prime} = y^{\prime \prime}$$ Esta sustitución transforma la ecuación 1.14 en una ecuación diferencial de primer orden $$f(x,u,u^{\prime})=0$$ (1.15) Ahora, si logramos encontrar una solución para la ecuación 1.15, podemos sustituir en ella $u$ por $y^{\prime}$ e intentar resolver la ecuación diferencial resultante. Este procedimiento reduce la resolución de una ecuación diferencial de segundo como 1.14 a la resolución de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo  Resolver la ecuación diferencial $$x y^{\prime \prime} - y^{\prime} = 3x^2$$ Solución: La variable $y$ está ausente, así que al hacer $u = y^{\prime}$ obtenemos $$xu^{\prime} - u = 3x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = 3x^2$$ que es lineal. Resolviendo ésta ecuación obtenemos $$u = \frac{du}{dx} = 3x^2 + c_1x$$ e integrando $$y = x^3 + \frac{c_1}{2} x^2 + c_2$$     - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR