|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Ausencia de la variable independiente Si $x$ no está presente en la ecuación diferencial, esta se puede escribir como $$g(y,y^{\prime},y^{\prime \prime})=0$$ (1.16) Del mismo modo que en el caso anterior, introducimos el cambio de variable $u = y^{\prime}$, pero ahora expresamos $y^{\prime \prime}$ en términos de una derivada respecto de $y$ $$y^{\prime \prime} = \frac{du}{dx} = \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx} = u \frac{du}{dy}$$ Esto nos permite escribir la ecuación 1.16 en la forma $$g\left( y, u,u \frac{du}{dx} \right) = 0$$ (1.17) Ahora encontramos la solución de la ecuación 1.17, luego sustituimos en ésta solución $u$ por $y^{\prime}$ y resolvemos la ecuación resultante. Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial $$y^{\prime \prime} + k^2 y = 0$$ Solución : Haciendo $u = y^{\prime}$ podemos escribir la ecuación dada como $$\frac{du}{dx} + k^2 y = 0 \Rightarrow u \frac{du}{dy} + k^2 y = 0$$ Separando variables e integrando $$u du = -k^2 y dy \Rightarrow u^2 + k^2 y^2 = c^2_1 \Rightarrow u=y^{\prime}= \pm \sqrt{c^2_1 - k^2y^2}$$ Separando variables $$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{c^2_1 - k^2 y^2} \Rightarrow \frac{dy}{\sqrt{c^2_1 - k^2y^2}} = \pm dx$$ Integrando $$\frac{1}{k} ArcSen\left( \frac{ky}{c_1} \right) = \pm x + c_2$$ Despejando $y$ y renombrando las constantes, esta solución puede escribirse como $$y = A Sen(kx + B)$$     - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR