|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.


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   Ecuación de Bernoulli

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

 
   Definición
  Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma


\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) y^n \end{displaymath}

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones reales y continuas en un intervalo $[a,b]$ y $n$ es una constante real diferente de $0$ y $1$ se conoce como ecuación de Bernoulli1.2  

 

Observación: cuando $n=0$ la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando $n=1$ se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.

 

 
   Teorema
  La ecuación de Bernoulli


\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) y^n \end{displaymath} (1.12)

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución $u=y^{1-n}$.  

Demostración:

Al dividir la ecuación 1.12 por $y^{n}$, resulta


\begin{displaymath} y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \end{displaymath} (1.13)

Usando la regla de la cadena, calculemos $y^{\prime}$ a partir de la sustitución $u=y^{1-n}$


\begin{displaymath} \frac{du}{dx} = \left(1 - n \right) y^{-n} \frac{dy}{dx} \end{displaymath}

Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en


\begin{displaymath} \frac{1}{1-n} \frac{dy}{dx} + P(x)u = Q(x) \end{displaymath}

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

 

Ejemplo:


Resuelva la ecuación


\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} - 5y = -\frac{5}{2} x \end{displaymath}

Solución 

Ésta es una ecuación de Bernoulli con $n=3$, $P(x)=-5$ y $Q(x)= - \frac{5x}{2}$. Para resolverla primero dividamos por $y^3$


\begin{displaymath} y^{-3} \frac{dy}{dx} - 5 y^{-2} = - \frac{5x}{2} \end{displaymath}

Ahora efectuemos la transformación $u = y^{-2}$. Puesto que $\frac{du}{dx} = -2y^{} \frac{dy}{dx}$, la ecuación se transforma en


\begin{displaymath} - \frac{1}{2} \frac{du}{dx} - 5u = - \frac{5}{2} x \end{displaymath}

Simplificando obtenemos la ecuación lineal


\begin{displaymath} \frac{du}{dx} - 10u = 5x \end{displaymath}

Cuya solución es


\begin{displaymath} u = \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + c e^{-10x} \end{displaymath}

y al sustituir $u = y^{-2}$ se obtiene la solución de la ecuación original


\begin{displaymath} \frac{1}{y^2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{20} + c e^{-10x} \end{displaymath}

Observación: en esta solución no está incluida la solución $y=0$, que se perdió durante el proceso de dividir por $y^3$. Es decir, se trata de una solución singular.

 

Ejemplo:


Compruebe que la ecuación diferencial


\begin{displaymath} xy^{\prime} + 3 = 4xe^{-y} \end{displaymath}

se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer $u=e^{-y}$.

 

Solución 

Como

\begin{displaymath} u = e^{-y} \Rightarrow u^{\prime} = - e^{-y} y^{\prime} \Rightarrow y^{\prime}= -\frac{u^{\prime}}{u} \end{displaymath}

Sustituyendo obtenemos

\begin{displaymath} u^{\prime} - \frac{3}{x} u = -4u^2 \end{displaymath}

la cual es una ecuación de Bernoulli.


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