|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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 Ecuaciones diferenciales exactas

Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.

 

	Definición [Vector gradiente]
	Sea $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow R$ una función escalar, entonces el gradiente $f$ es la función vectorial $\nabla f : D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2$ dada por $$\nabla f(x,y_) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j}$$

Ejemplo
El gradiente de la función $f(x,y)= 2x^2 y^3 + 3xy^2 + x$ es

$$\nabla f(x,y) = \left(4 x y^3 + 3 y^2 + 1 \right) \vec{i} + \left( 6x^2y^2 + 6 x y \right) \vec{j}$$

 

	Definición [Campo vectorial conservativo]
	Sea $F: U \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2$ una función vectorial, decimos que $F$ es un campo vectorial conservativo si existe una función escalar $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ tal que $\nabla f = F$. A la función escalar $f$ se le llama función potencial.

 

Ejemplo
La función vectorial $F(x,y) = 2xy \vec{i} + \left(x^2 - 3y^2 \right) \vec{j}$ es un campo vectorial conservativo, pues, si $f(x,y) = x^2y - y^3$ se tiene que $\nabla f = F$.

La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.

 

 

Teorema

Sea $F: U \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2$ un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1 $U$ y dado por $$F(x,y) = M(x,y) \vec{i} + N(x,y) \vec{j}$$ donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ tienen derivadas parciales de primer orden continuas en $U$, entonces $F$ es conservativo sí y sólo sí   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo.

Ejemplo

 
El campo vectorial

$$F(x,y) = \left(4 x y^3 + 3 y^2 +1 \right) \vec{i} + \left( 6x^2y^2 + 6 x y \right) \vec{j}$$

es conservativo, pues si

$$M(x,y) = 4 x y^3 + 3 y^2 + 1 \hspace{1cm} N(x,y) = 6x^2y^2 + 6 x y$$

tenemos que

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 12xy^2 + 6y= \frac{\partial Q}{\partial x}$$

Como es conservativo, existe una función escalar $f$ tal que

$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} & = & 4 x... ...partial f}{\partial y} & = & 6x^2y^2 + 6 x y \\ \end{array}$$

de donde, como

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x y^3 + 3 y^2 + 1 \Rightarrow f(x,y) = 2x^2y^3 + 3xy^2 + x + g(y)$$

Derivando con respecto a $y$ e igualando a la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$

$$6x^2 y^2 + 6xy + g^{\prime}(y) = 6x^2 y^2 + 6xy \Rightarrow g^{\prime}(y) = 0 \Rightarrow g(y) = c$$

Con lo cual $f(x,y) = 2x^2 y^3 + 3x y^2 + x + c$.

 

Observación: algunas veces resulta más fácil integrar $M(x,y)$ respecto a $x$ y $N(x,y)$ respecto a $y$ y luego elegimos $f(x,y)$ como la suma de ambos, tomando los términos repetidos una vez.

 

 

	Definición [Ecuación diferencial exacta]
	Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma $$M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$$ es exacta si el campo vectorial asociado $$F(x,y) = M(x,y) \vec{i} + N(x,y) \vec{j}$$ es conservativo.

 

 

	Teorema
	La solución general de la ecuación diferencial exacta $$M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$$ está dada por $f(x,y)=c$, donde $f(x,y)$ es la función potencial del campo vectorial $F(x,y)= M(x,y) \vec{i} + N(x,y) \vec{j}$.

 

Demostración:

Comprobemos que $f(x,y)=c$ es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que $y$ es función de $x$, derivamos implícitamente

$$f_x (x,y) + f_y (x,y) y^{\prime} = 0$$

Como $f(x,y)$ es la función potencial del campo vectorial $F(x,y)$, $f_x (x,y) = M(x,y)$ y $f_y (x,y) = N(x,y)$, de donde

$$\begin{array}{rl} \Rightarrow & M(x,y) + N(x,y) \frac{dy}{... ... 0 \\ \Rightarrow & M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{array}$$

Como se quería.

 

Ejemplo

 
La solución general de la ecuación diferencial

$$\left(4 x y^3 + 3 y^2 + 1 \right) dx + \left( 6x^2y^2 + 6 x y \right) dy = 0$$

es $2x^2 y^3 + 3x y^2 + x = c$, pues la ecuación diferencial es exacta y como hemos visto $f(x,y) = 2x^2 y^3 + 3x y^2 + x + c$ es la función potencial del campo vectorial $F(x,y) = \left(4 x y^3 + 6 y^2 +1 \right) \vec{i} + \left( 6x^2y^2 + 6 x y \right) \vec{j}$.

 

Ejemplo

Determine una función $M(x,y)$ de modo que la ecuación diferencial

$$M(x,y) dx + \left( xe^{xy} + 2xy + \frac{1}{x} \right) dy = 0$$ (1.1)

sea exacta.

Para que la ecuación diferencial (1.1) sea exacta debe cumplirse que

$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial M}{\partial y} & = & \fr... ... & = & e^{xy} + xy e^{xy} + 2y - \frac{1}{x^2} \end{array}$$

Y al integrar respecto a $y$, obtenemos que

$$M(x,y) = y e^{xy} + y^2 - \frac{y}{x^2} + c$$

 

Observación: en realidad obtenemos toda una familia de funciones $M(x,y)$, debido a la constante de integración $c$, como queremos sólo una función $M(x,y)$ podemos tomar $c=0$.

 

Ejemplo

Determine el valor o valores de $k$ de forma que la ecuación diferencial

$$\left( 2x - y Sen(xy) + k y^4 \right) dx - \left( 20 k^2 x y^3 + x Sen(xy) \right) dy = 0$$ (1.2)

Para que la ecuación diferencial (1.2) sea exacta debe satisfacer

$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\... ... Sen(xy) - x Sen(xy) \\ 4ky^3 & = & -20y^3 \\ \end{array}$$

de donde obtenemos que

$$4k = -20k^2 \Rightarrow 20 k^2 + 4k = 0 \Rightarrow k=0 \wedge k = -\frac{1}{5}$$

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