|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.

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Ecuaciones en variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.

Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.

 

	Definición [Ecuación diferencial separable]
	Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden $f(x,y,y^{\prime})=0$ que puede escribirse en la forma: $$f(x) dx + g(y) dy =0$$ se llama ecuación diferencial en variables separadas.

Observación: una ecuación de la forma:

$$f_1(x)g_1(y) dx - f_2(x) g_2(y) dy = 0$$

puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor $f_2(x) g_1(y)$

$$\frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx - \frac{g_2(y)}{g_1(y)} dy = 0$$

y al integrar obtenemos la solución

$$\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx = \int \frac{g_2(y)}{g_1(y)} dy$$

Tenga presente que al dividir por el factor $f_2(x) g_1(y)$ puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.

 

Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria

$$3 e^x Tan(y) dx + \left(2 - e^x \right) Sec^2(y) dy = 0$$

Dividiendo por el factor $Tan(y) \left(2 - e^x \right)$ obtenemos

$$\frac{3 e^x}{2 - e^x} dx + \frac{Sec^2(y) }{Tan(y)} dy = 0$$

Y al integrar

$$-3 Ln \mid2 - e^x \mid + Ln \mid Tan(y) \mid = c$$

Simplificando

$$\frac{Tan(y)}{\left(2 - e^x \right)^3} = c$$

Observe que el factor $Tan(y) \left(2 - e^x \right)$ es cero cuando $x = Ln(2)$ y $y= k \pi$ con $k \in \mbox{$\ Z \hspace{-2.2mm} Z $}$y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando $c = + \infty$ y $c=0$, respectivamente.

 

Ejemplo

 
La pendiente de una familia de curvas está dada por:

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{3x + xy^2}{2y + x^2y}$$

Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto $(2,1)$.

Separando variables

$$\frac{y}{3 + y^2} dy = - \frac{x}{2 + x^2} dx$$

Integrando

$$Ln \left(3 + y^2 \right) + Ln \left( 2 + x^2 \right) = c$$

Simplificando

$$\left( 3 + y^2 \right) \left(2 + x^2 \right) = c$$

Evaluando en el punto $(2,1)$ obtenemos que $c=24$, con lo cual el miembro de la familia buscado es

$$\left( 3 + y^2 \right) \left(2 + x^2 \right) = 24$$

La recta tangente a la curva $\left ( 3 + y^2 \right ) \left (2 + x^2 \right ) = 24$ en el punto $(2,1)$ se muestran en la figura 1.1.

 

Figura 1.1: Recta tangente a la curva $\left ( 3 + y^2 \right ) \left (2 + x^2 \right ) = 24$.

 

Ejemplo

La ecuación diferencial ordinaria

$$\frac{dy}{dx} = \frac{4y^2 - x^4}{4xy}$$

no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable $y=ux$.

Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación

$$4y dy = \frac{4y^2 - x^4}{x} dx$$

la cual no es separable.

Por otro lado, al hacer el cambio de variable $y=ux$

$$y = ux \Rightarrow y^{\prime} = x u^{\prime} + u$$

con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos

$$x u^{\prime} + u = \frac{4u^2- x^2}{4u}$$

y simplificando

$$\frac{du}{dx} = - \frac{x}{4u}$$

la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución

$$2u^2 + \frac{x^2}{2} = c$$

Volviendo a la variable original

$$2 \left( \frac{y}{x} \right)^2 + \frac{x^2}{2} = c$$

la cual es la solución buscada.

 

 

 

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