|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.


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  Ecuación de Clairaut

Suponga que $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }\rightarrow R$ es una función real. Si $(c, f(c)) \in D$ la recta tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por


\begin{displaymath}
y - f(c) = f^{\prime} (x) \left( x - c \right)
\end{displaymath}

Observe que esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro $c$. Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Si $y^{\prime} = f^{\prime}(c)$ y $f^{\prime}(x)$ tiene una inversa $g(x)$ cerca de $c$, entonces $c
= g(y^{\prime})$ y podemos reescribir la ecuación de la recta tangente como

\begin{displaymath}
y = xy^{\prime} + g(y^{\prime})
\end{displaymath}

La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.

 

 
   Definición [Ecuación de Clairaut]
  Una ecuación diferencial de primer orden $f(x,y,y^{\prime})=0$ que puede escribirse en la forma


\begin{displaymath}
y = xy^{\prime} + g\left( y^{\prime} \right)
\end{displaymath}

se conoce como ecuación de Clairaut . Donde $g(x)$ es una función continuamente diferenciable.  

 

El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia , también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.

 

 
   Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut]
  a ecuación de Clairaut


\begin{displaymath}
y = x y^{\prime} + f(y^{\prime})
\end{displaymath} (1.18)

donde $f(x)$ es una función derivable, tiene como solución general $y=cx + f(c)$ y como solución singular


\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{rcl}
x & = & -f^{\prime}(t) \\
y & = & -t f^{\prime}(t) +f(t)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
 

 

Demostración
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución $u = y^{\prime} $ para obtener


\begin{displaymath}
y = xu + f(u)
\end{displaymath} (1.19)

Derivando ambos lados respecto a $x$

 

\begin{displaymath}
y^{\prime} = xu^{\prime} + u + f^{\prime}(u) u^{\prime}
\end{displaymath}

de donde obtenemos que


\begin{displaymath}
u^{\prime} \left( x + f^{\prime} (u) \right) = 0
\end{displaymath}

Surgen dos casos

Caso 1:
Si $u^{\prime} = 0$, entonces $u = c$ y sustituyendo en la ecuación 1.19 obtenemos la solución general $y=cx + f(c)$.

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación 1.18 $y^{\prime}$ por $c$.

Cso 2:
Si $x + f^{\prime}(u)=0$, entonces $x = -f^{\prime}(u)$ y sustituyendo en la ecuación 1.19 $y = -uf^{\prime}(u)
+ f(u)$, es decir


\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{rcl}
x & = & -f^{\prime}(u) \\
y & = & -t f^{\prime}(u) +f(u)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde $u$ es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.

 

Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial


\begin{displaymath}
y = xy^{\prime} + 2 \sqrt{1 + t^2}
\end{displaymath}

Solución:
La solución general es la familia de rectas $y = cx \pm 2
\sqrt{1 + t^2}$ y como $f(t)=2 \sqrt{1 + t^2}$ la solución singular está dada por


\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{rcl}
x & = & \frac{-2t}{\sqrt{1 + ...
...
y & = & \frac{2}{\sqrt{1 + t^2} }\\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, $x^2 + y^2 = 4$. En la figura 1.2 se muestra la familia de rectas tangentes $y = cx
+ 2 \sqrt{1 + c^2} $ y la envolvente $x^2 + y^2 = 4$.

 

Figura 1.2: Envolvente $x + y^2 =4 $ y rectas tangentes $y=cx \pm 2 \sqrt {1+ c^2}$.
 



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