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El ajedrez es caótico

Vamos a definir una función de evolución

E$$\colon$$$$\Re^{64}_{}$$ $$\longmapsto$$ $$\Re^{64}_{}$$

que nos permita obtener secuencias de buenas jugadas. Con esta función, dada una posición inicial, podremos ir construyendo, paso a paso, trayectorias en el espacio de fase que corresponden a buenas variantes.

Supongamos una posición inicial x₀ en que le toca jugar a las blancas. Hay un conjunto de jugadas legales que pueden jugarse, pero queremos poder seleccionar siempre solamente una. Lo primero que hacemos es evaluar H(x₀). Si es 1, eso quiere decir que tiene que haber una jugada para las blancas que lleve irremisiblemente a darle mate a las negras. Escogemos esa como la jugada a realizarse, es decir, E(x₀) = x₁ es la nueva posición después de jugar las blancas. En el caso en que hubiera varias jugadas que lleven a mate, escojemos la primera jugada de la variante más corta. En el caso, muy poco frecuente, en que hubiera varias jugadas que llevan a mate en el mismo número de jugadas, simplemente escogemos alguna de ellas de un modo arbitrario; para nuestros fines no importa como. Si al evaluar H(x₀) resulta que da el valor -1, entonces, independientemente de las decisiones que tomen las blancas en esta y en las próximas jugadas, siempre van a recibir mate en un futuro; en ese caso escogemos la jugada que lleve a mate en un número máximo de jugadas. Finalmente, si H(x₀) es 0, no puede haber variantes forzadas que lleven a la victoria o la derrota de las blancas. En ese caso para la próxima jugada de las blancas escogemos la jugada que, manteniéndose siempre dentro de las variantes de tablas con H(x₀) = 0, lleve más rápidamente a una posición en las blancas amenacen mate antes de que las negras lo hayan hecho. Si esto es imposible pues las negras siempre llegan a amenazar mate primero, entonces se escoge la jugada en que las negras duren más jugadas en amenazar mate. De nuevo habrá algunos casos muy contados en que existan dos jugadas que eventualmente lleven a amenazar mate en el mismo número de jugadas; en ese caso de nuevo escogemos entre ellas de algún modo arbitrario. Si no hubiera suficiente material en el tablero para dar mate, entonces, por las reglas del ajedrez, la partida debería haberse dado ya por terminada con el resultado de tablas. Hemos cubierto así todas las posibilidades que se le pueden presentar a las blancas, y para cada posición inicial x₀ hemos dado una regla que permite asociarle a esa posición una siguiente posición x₁ = E(x₀). Cuando le toca jugar a las negras escojeremos su jugada de un modo análogo a como lo hicimos para cuando le toca jugar a las blancas, pero invirtiendo los papeles de ambos. Hemos construido así una función de evolución que nos puede llevar de la jugada n a la n + 1 del siguiente modo:

Volviendo ahora a la ecuación (2), vemos que si definimos a

el desarrollo de la partida a partir de la posición inicial es equivalente a un sistema autónomo discretizado.

Los sistemas autónomos con espacios de fase de más de un par de dimensiones son usualmente caóticos; en este caso el espacio de fase es de 64 dimensiones. Los términos no lineales y con funciones de distribución también provocan el caos. La función E(x) ciertamente tiene estas características provocadoras de caos. Por ejemplo, los peones se comportan muy diferente al ir avanzando. Cuando están en el segundo rango pueden saltar dos escaques, pero a partir del cuarto rango solamente pueden saltar de uno en uno. Al llegar al octavo rango pueden promocionar en otra pieza. Este comportamiento necesitaría de funciones de paso en la función de evaluación. También las piezas interaccionan de un modo no lineal entre ellas. Por ejemplo, dama y caballo son más efectivos que dama y alfil, a pesar de valer más el alfil que el caballo. De hecho, la función de evaluación tiene que ser tremendamente complicada, para poder acarrear la información de tantas variantes. Se llega así a la conclusión de que el ajedrez es caótico, puesto que es equivalente a un problema caótico. Al igual que vimos en el caso de los sistema autónomos caóticos, en el ajedrez en cualquier momento dado una posición en el tablero va a ser extraordinariamente sensitiva a cada detalle: a dónde esté cada peón, a cual escaque ocupa cada pieza, a la menor variación en la posición. Exceptuando posiciones demasiado simplificadas, con muy pocas piezas, la menor diferencia entre dos posiciones va a llevar a juegos completamente diferentes.

Vamos a preferir usar el término pseudocaótico en lugar del de caótico para describir la situación del ajedrez. El motivo es el siguiente: en el ajedrez, muchos movimientos llevan a la toma de una pieza. Cada vez que esto ocurre se simplifica un poco la posición en el tablero. De hecho las trayectorias en el espacio de fase del juego tienden al origen, pues, poco a poco, pero de un modo inexorable, al irse cambiando las piezas los escaques quedan vacíos y el valor asociado a esa dimensión en el espacio de fase se hace cero. El origen es un atractor de las trayectorias. Así pues la función de evolución E(x) se va a ir simplificando progresivamente y eventualmente el caos desaparecerá. Sin embargo, como sabe todo ajedrecista, hay finales de muy pocas piezas que son terriblemente difíciles de analizar y probablemente el pseudocaos se presenta hasta en los finales más simples. Una genuina trayectoria caótica sigue siéndolo siempre; las de ajedrez comienzan caóticas pero dejan de serlo eventualmente. Esto es lo que enfatizamos con el término "pseudocaos".

La condición de caoticidad del ajedrez implica que la valoración de una jugada con base en el análisis de variantes de 12 jugadas va a ser tan ilusoria como si hubieran sido 6 ó 24. Para las posiciones iniciales más frecuentes el análisis con tan pocas jugadas no ayuda a entender la naturaleza de la posición. En una posición típica va a ser imposible incluso decidir si la posición está ganada por un bando o si es tablas. Si analizamos variantes de 25 jugadas, la situación va a seguir siendo la misma: algunas secuencias llevan a posiciones en que sí se sabe quien está ganando, pero la gran mayoría siguen siendo demasiado complicadas. Estadísticamente hablando, la mayoría de las posiciones iniciales no son obviamente evaluables, ni llevan, después de unas cincuenta jugadas, a posiciones obviamente evaluables.

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