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El ajedrez tiene una función de evaluación H

Consideremos un juego y un estado x de ese juego. Llamaremos "de evaluación" a una función  

H$$\colon$$$$\Re^{64}_{}$$ $$\longmapsto$$ { - 1, 0, 1}

 tal que H(x) tome los valores +1, 0, y -1 en los casos en que al bando que le toca jugar esté ganando, empatando, o perdiendo, respectivamente. Se plantea ahora la pregunta: existe una función de evaluación para el ajedrez? En esta sección vamos a demostrar que la respuesta a esta pregunta es afirmativa.

Como primer paso en la demostración, nótese que el número de posiciones distintas que se pueden dar en el tablero de ajedrez es finito. Esto es evidente, en cuanto que el número de escaques lo es, asi como el número de piezas: todas las posibles permutaciones de las piezas en los escaques van a ser finitas.

Menos evidente es la siguiente aseveración: las ramas del árbol de variantes del ajedrez son todas de largo finito. Para ilustrar los conceptos involucrados veamos un ejemplo de un árbol de variantes en la Figura 2. El ejemplo corresponde a la blancas dando mate en dos jugadas. Los bolitas blancas representan posiciones en que las blancas juegan, y las bolitas negras posiciones en que las negras juegan. Las líneas entre las bolitas representan jugadas realizadas por el jugador al que le tocaba jugar.

Figura 2: Arbol de jugadas

En la figura se observa que una bolita blanca forma el "tronco" del árbol, es decir, se está partiendo de una posición en que juegan las blancas. Ellas tienen tres opciones, las jugadas a, b y c. Difícilmente querrían las blancas jugar b, que le permitiría a las negras darles mate inmediatamente si utilizan la jugada de la izquierda, tal y como se indica en la figura con el signo + +. La posiciones finales indefinidas las denotamos con un signo de interrogación. Si las blancas juegan a las negras tendrían la opción de jugar la variante de la izquierda, tras lo cual recibirían mate, o la de la derecha, que le daría a las blancas tres opciones, ninguna de las cuales llega a ser mate. Ponemos un signo de interrogación para denotar una posición que aún no se ha definido, y el símbolo "=" para denotar un resultado de tablas. Finalmente, si las blancas juegan c, no importa la jugada que escojan las negras, en ambos casos recibirán mate si las blancas escogen en su turno la jugada de la izquierda. En resumen, de acuerdo a nuestra definición, en la figura las blancas están mejor. Un comentario más sobre la figura: supongamos que la posición original ya ha ocurrido antes en la partida, y las blancas no vieron que podían dar mate. Entonces, si de nuevo se volviera a repetir la posición por una tercera vez, por las leyes del ajedrez la posición es tablas, tal y como se muestra con el "=" en la figura.

Consideremos el conjunto de todas las posibles variantes a partir de una posición dada. En principio son un número infinito, con muchas de ellas infinitas. Sin embargo, la regla de que la repetición de tres posiciones idénticas es tablas fuerza a que solamente haya un número finito de variantes de largo finito. En efecto, como el número de posiciones posibles es finito, y como las variantes son sucesiones de posiciones, y como solamente puede darse en un variante la misma posición tres veces, la conclusión es inmediata. Así pues, dada una posición original es posible hacer una lista finita de todas las posibles variantes, donde cada variante es también finita. Usando una técnica igual a la que usamos para analizar la Figura 2, se pueden determinar cuales variantes llevan a un triunfo o una derrota de las blancas, y cuales a un tablas. Entonces la función H(x) queda definida en términos de ese conjunto de sucesiones. A la posición x le asignamos el valor +1 para la función si las blancas ganan, el -1 si pierden, y el 0 si es un empate. Llegamos a la conclusión de que el ajedrez posee una función de evaluación.

Hay un teorema clásico en la teoría de juegos debido a Zermelo y von Neumann que dice que todo juego de suma-cero e información perfecta está estrictamente determinado. Esto quiere decir que el juego siempre puede ser resuelto por medio de estrategias puras. Puesto que el ajedrez cumple ambos requisitos se concluye que está estrictamente determinado y es, desde el punto de vista de la teoría de juegos, un tanto trivial. En todo caso, no es difícil ver que este teorema implica la existencia de la función H(x), cuya existencia aquí hemos demostrado de un modo muy específico para el ajedrez.

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