Exponente natural

Comenzaremos con el caso r = n $\in$ IN, el cual no da mucho problema desde un punto de vista intuitivo. Se define

aⁿ : = $\displaystyle \begin{array}[c]{c}%% \underbrace{a\cdot a\cdots a}\\ n\mbox{ veces}%% \end{array}$ .
Esta definición presenta sin embargo un pequeño problema de rigurosidad, el cual no es difícil de corregir usando el principio de inducción. Podemos definir

a¹ = a, a^{n + 1} = a^{n .}a, $\displaystyle \forall$ n $\displaystyle \in$ IN.

Esto define a¹, y una vez definido aⁿ, nos permite definir a^{n + 1}. Así, por inducción obtenemos la definición para todo n $\in$ IN.

Las siguientes propiedades se pueden intuir sin mucha dificultad:

a^{m .}aⁿ = a^{m + n}, n, m $\in$ IIN, a $\in$ IR

$\left(\vphantom{ a^{n}}\right.$ aⁿ $\left.\vphantom{ a^{n}}\right)^{m}_{}$ = a^{n^.m}, n, m $\in$ IN, a $\in$ IR

${\frac{a^{n}}{a^{m}}}$ = a^{n - m}, n > m, a $\neq$ 0

$\left(\vphantom{ ab}\right.$ ab $\left.\vphantom{ ab}\right)^{n}_{}$ = a^{n .}bⁿ, n $\in$ IN, a, b $\in$ IR

$\left(\vphantom{ \frac{a}{b}}\right.$ ${\frac{a}{b}}$ $\left.\vphantom{ \frac{a}{b}}\right)^{n}_{}$ = ${\frac{a^{n}}{b^{n}}}$ , n $\in$ IN, a $\in$ IR, b $\neq$ 0.

Como ejemplo demostremos la propiedad 1: Aquí otra vez se puede apelar a la intuición y decir que

a^{m .}aⁿ = $\displaystyle \begin{array}[c]{c}%% \underbrace{a\cdot a\cdots a}\\ m\mbox{ veces}%% \end{array}$ ^. $\displaystyle \begin{array}[c]{c}%% \underbrace{a\cdot a\cdots a}\\ n\mbox{ veces}%% \end{array}$ = $\displaystyle \begin{array}[c]{c}%% \underbrace{a\cdot a\cdots a}\\ m+n\mbox{ veces}%% \end{array}$

Pero si se quiere ser riguroso, se debe usar el principio de inducción otra vez. Dejamos m fijo y aplicamos inducción sobre n.

Para n = 1, tenemos a^{m .}aⁿ = a^{m .}a = a^{m + 1} por definición.

En el paso inductivo tenemos como hipótesis a^{m .}aⁿ = a^{m + n}, y entonces por las propiedades del producto

a^{m .}a^{n + 1} = a^{m .} $\displaystyle \left(\vphantom{ a^{n}\cdot a}\right.$ a^{n .}a $\displaystyle \left.\vphantom{ a^{n}\cdot a}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ a^{m}\cdot a^{n}}\right.$ a^{m .}aⁿ $\displaystyle \left.\vphantom{ a^{m}\cdot a^{n}}\right)$ ^.a = a^{m + n .}a = a^{m + n + 1} = a^{m + n + 1}.

La segunda igualdad se trata similarmente, mientras que la tercera se puede demostrar usando la primera. En efecto, como n - m $\in$ IN tenemos

a^{n - m .}a^m = a^{n - m + m} = aⁿ,
y luego dividimos por a^m para obtener el resultado. La verificación de las otras identidades se deja como ejercicio para el lector.