El paso a exponentes reales

Consideremos ahora el problema de definir 2^x, para números irracionales como $\sqrt{2}$ , $\pi$ , etc. La idea es tomar racionales que ``aproximen'' a $\sqrt{2}$ , digamos

Sabemos definir 2^r₀, 2^r₁, 2^r₂, ..., y se espera que estos números ``se acerquen'' a un número real que llamaremos 2. Más adelante explotaremos esta idea de usar sucesiones para definir a^x. Por ahora haremos una construcción usando el axioma del extremo superior. Vamos a tomar el caso a = 2 para simplificar notación.

A = $\displaystyle \left\{\vphantom{ 2^{r}:r\in I\!\! Q,r<x}\right.$ 2^r : r $\displaystyle \in$ IQ, r < x $\displaystyle \left.\vphantom{ 2^{r}:r\in I\!\! Q,r<x}\right\}$ , B = $\displaystyle \left\{\vphantom{ y\in I\!\! R\,:y\mbox{ es cota superior de }A}\right.$ y $\displaystyle \in$ IR : y es cota superior de A $\displaystyle \left.\vphantom{ y\in I\!\! R\,:y\mbox{ es cota superior de }A}\right\}$ .

$\displaystyle \begin{array}[c]{lll}%% s>x & \Rightarrow & s>r,\ \forall r\in I\... ...ll r\in I\!\! Q,\ r<x\\ & \Rightarrow & 2^{s}>z,\ \forall z\in A. \end{array}$

2^r $\displaystyle \leq$ 2^x $\displaystyle \leq$ 2^s, para r, s $\displaystyle \in$ IQ tales que r < x < s.

Mejor aún, la función f $\left(\vphantom{ x}\right.$ x $\left.\vphantom{ x}\right)$ = 2^x así definida, es estrictamente creciente en IR. En efecto, tomemos x, y $\in$ IR tales que x < y. Entonces existe un racional r tal que x < r < y, y luego existe otro racional s tal que r < s < y. Por ser f estrictamente creciente en IQ obtenemos 2^x $\leq$ 2^r < 2^s $\leq$ 2^y, y en particular 2^x < 2^y.

La misma construcción se puede hacer para f (x) = a^x, con a > 0 cualquiera (para 0 < a < 1, la función resulta decreciente, y para a = 1 es constante). Aunque es un poco tedioso, se pueden demostrar las propiedades 1,...,5 para exponentes reales. Esto es más sencillo con el enfoque vía sucesiones que estudiaremos luego.

Ejemplo 4.0.1 $\left[\vphantom{ \left( \sqrt{2}\right) ^{\sqrt{2}}}\right.$ $\left(\vphantom{ \sqrt{2}}\right.$ $\sqrt{2}$ $\left.\vphantom{ \sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}_{}$ $\left.\vphantom{ \left( \sqrt{2}\right) ^{\sqrt{2}}}\right]^{\sqrt{2}}_{}$ = $\left(\vphantom{ \sqrt{2}}\right.$ $\sqrt{2}$ $\left.\vphantom{ \sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}_{}$ = $\left(\vphantom{ \sqrt{2}}\right.$ $\sqrt{2}$ $\left.\vphantom{ \sqrt{2}}\right)^{2}_{}$ = 2.

Ejemplo 4.0.2 $\left(\vphantom{ 4}\right.$ 4 $\left.\vphantom{ 4}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{}$ = $\left(\vphantom{ 2^{2}}\right.$ 2² $\left.\vphantom{ 2^{2}}\right)^{\frac {1}{\sqrt{2}}}_{}$ = 2 = 2.

Ejemplo 4.0.3 Resolver la ecuación x - 3x + 2 = 0. Tomando t = x tenemos t² - 3t + 2 = 0. Resolviendo obtenemos t $\in$ $\left\{\vphantom{ 1,2}\right.$ 1, 2 $\left.\vphantom{ 1,2}\right\}$ , así que x $\in$ $\left\{\vphantom{ 1,2^{1/\sqrt{2}}}\right.$ 1, 2^1/ $\left.\vphantom{ 1,2^{1/\sqrt{2}}}\right\}$ .