El lector probablememente sabe muy bien que
dado a > 0,
es un número real positivo tal que


= a. En esta sección usamos la completitud de
IR para darle rigor a esta definición. En otras palabras,
demostraremos que la función
f : IR+
IR+,
definida por
f (x) = x2, es sobreyectiva. Primero, y para enfatizar la
diferencia entre IQ y IR, vamos a demostrar que esto no es
posible hacerlo en IQ. Específicamente, vamos a demostrar que:
Lema 2.5.1
No existe
r
IQ tal que
r2 = 2.
Prueba:
En efecto, supongamos que sí existe tal r. Entonces se puede
escribir
r =

,
donde m, n son naturales, y al menos uno de ellos es impar. Se sigue entonces
que
m2 = 2n2, y consecuentemente m2 es par, lo que implica que m
también es par (¿por qué?), esto es m = 2k para
algún
k
IZ. Luego
2n2 = m2 = 4k2,
y obtenemos que n2 también es par, con lo cual n es par. Como esto
es contradictorio, no existe tal r.
Este hecho, junto con el lema siguiente, permite concluir que existe
un número real
II.
Lema 2.5.2
Dado
a > 0, existe un número

> 0 tal que

=
a. A tal

se le llama la raíz cuadrada de
a, y se le denota

=

.
Prueba:
Defina los conjuntos
A =
x 
0 :
x2 <
a
,
B =
y > 0 :
y2 >
a
.
Como a > 0 tenemos que 0
A, así que
A
. Además,
como
(a + 1)2 > a + 1 > a, tenemos
B
. La igualdad
demuestra que para x, y > 0 se tiene
x >
y
x2 >
y2.
Luego, dados x
A y y
B se tiene
x2 < a < y2, con lo que x < y.
Por la completitud de IR existe
IR tal que
x
y para todo x
A y todo y
B. Para demostrar que
= a, debemos descartar las posibilidades
> a y
< a. Veamos:
- 1.
- Si
< a, tome
0 <
< 1. Note que
<
, y entonces
(

+

)
2 =

+ 2


+

<

+ (2

+ 1)

.
Si además
<
a - 
/
2
+ 1
, se sigue que
(

+

)
2 <

+ (2

+ 1)

<

+
a -


=
a.
Esto es,
+
A, contradiciendo el hecho que
es
cota superior de A.
- 2.
- Si
> a, note que
Si
0 <
< 
- a
/2
, obtenemos
Pero entonces
-
B, lo que contradice el hecho que
es cota inferior del conjunto B.
Un argumento similar al anterior se usa para demostrar que dados
a > 0,
n
IN, existe
> 0 tal que
= a. Tal
se llama la raíz n - ésima de a, y se denota
=
.
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