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Exponente fraccionario

Para pasar a exponentes fraccionarios, tratemos de adivinar la definición usando la propiedad 2. Si queremos que esta propiedad siga siendo válida en IQ, debe tenerse

$$\left(\vphantom{ a^{\frac{1}{n}}}\right.$$a^{${\frac{1}{n}}$}$$\left.\vphantom{ a^{\frac{1}{n}}}\right)^{n}_{}$$ = a^{${\frac{1}{n}}$ . n} = a¹ = a.

En otras palabras, b : = a^{${\frac{1}{n}}$} debe satisfacer bⁿ = a. Esto nos lleva a lo que ``por definición'' se llama ``raíz n-ésima'' de a. Definimos entonces

a^{${\frac{1}{n}}$} : = $$\sqrt[n]{a}$$.

Pero, ¿Quién nos dice que existe un número real b tal que bⁿ = a ?

La respuesta es: la completitud de IR. Para aclarar esto bien, primero observemos que la función f$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = xⁿ es estrictamente creciente en $\left[\vphantom{ 0,\infty}\right.$0,$\infty$$\left.\vphantom{ 0,\infty}\right)$. Esto puede demostrarse por inducción:

• Para n = 1 tenemos f (x) = x, que es estrictamente creciente.

• Si se sabe que f$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = xⁿ es estrictamente creciente, entonces para 0 $\leq$ x < y se tiene
  x^{n + 1} = x^{n .} x < y^{n .} x < y^{n .} y = y^{n + 1},
  lo que demuestra que g$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = x^{n + 1} es también estrictamente creciente.

También puede recurrirse a la identidad

xⁿ - yⁿ = $$\left(\vphantom{ x-y}\right.$$x - y$$\left.\vphantom{ x-y}\right)$$$$\left(\vphantom{ x^{n-1}+x^{n-2}\cdot y+\cdots+x\cdot y^{n-2}+y^{n-1}}\right.$$x^{n - 1} + x^{n - 2 .} y + ^... + x ^. y^{n - 2} + y^{n - 1}$$\left.\vphantom{ x^{n-1}+x^{n-2}\cdot y+\cdots+x\cdot y^{n-2}+y^{n-1}}\right)$$,

donde vemos que el segundo factor del lado derecho es positivo para x, y positivos, y por lo tanto el signo de xⁿ - yⁿ es el mismo que el de x - y.

Ahora consideremos los conjuntos

A = $$\left\{\vphantom{ x\geq0:x^{n}<a}\right.$$x $$\geq$$ 0 : xⁿ < a$$\left.\vphantom{ x\geq0:x^{n}<a}\right\}$$,  B = $$\left\{\vphantom{ y\geq0:y^{n}\geq a}\right.$$y $$\geq$$ 0 : yⁿ $$\geq$$ a$$\left.\vphantom{ y\geq0:y^{n}\geq a}\right\}$$.

Note que A $\neq$ $\emptyset$ pues 0 $\in$ A, y B $\neq$ $\emptyset$ pues a + 1 $\in$ B. Además, para x $\in$ A y y $\in$ B se tiene x $\leq$ y. El axioma del extremo superior asegura la existencia de $\alpha$ $\in$ B tal que x $\leq$ $\alpha$ $\leq$ y, para todo x $\in$ A y todo y $\in$ B. Luego se demuestra que $\alpha^{n}_{}$ = a, y por lo tanto $\alpha$ es la raíz n -ésima de a, y se denota por $\alpha$ = $\sqrt[n]{a}$. En el capítulo 1 se demostró el caso n = 2. El caso general se demuestra, usando sucesiones, en el ejercicio 37 del capítulo 1.

Una vez resuelto el problema de la existencia de las raíces, usando la propiedad 2 como modelo vemos que para ${\frac{m}{n}}$ $\in$ IQ debe definirse

a^m/n : = $$\left(\vphantom{ a^{m}}\right.$$a^m$$\left.\vphantom{ a^{m}}\right)^{1/n}_{}$$ = $$\sqrt[n]{a^{m}}$$.

Nota: Tomando b = $\sqrt[n]{a}$ tenemos bⁿ = a, y por la propiedad 2 (con exponente natural) se sigue que

$$\left(\vphantom{ b^{m}}\right.$$b^m$$\left.\vphantom{ b^{m}}\right)^{n}_{}$$ = b^mn = $$\left(\vphantom{ b^{n}}\right.$$bⁿ$$\left.\vphantom{ b^{n}}\right)^{m}_{}$$ = a^m,

lo que significa que b^m es la raíz n -ésima de a^m. Esto demuestra que

$$\left(\vphantom{ \sqrt[n]{a}}\right.$$$$\sqrt[n]{a}$$$$\left.\vphantom{ \sqrt[n]{a}}\right)^{m}_{}$$ = b^m = $$\sqrt[n]{a^{m}}$$,

o equivalentemente:

$$\left(\vphantom{ a^{1/n}}\right.$$a^1/n$$\left.\vphantom{ a^{1/n}}\right)^{m}_{}$$ = a^m/n.

El próximo paso es verificar las propiedades 1,...,5 para exponentes racionales. Esto es, para a, b > 0 se tiene:

1. a^{r .} a^s = a^{r + s},  $\forall$r, s $\in$ IQ

2. $\left(\vphantom{ a^{r}}\right.$a^r$\left.\vphantom{ a^{r}}\right)^{s}_{}$ = a^{r . s},  $\forall$r, s $\in$ IQ

3. ${\frac{a^{r}}{a^{s}}}$ = a^{r -  s},  $\forall$r, s $\in$ IQ

4. $\left(\vphantom{ ab}\right.$ab$\left.\vphantom{ ab}\right)^{r}_{}$ = a^{r .} b^r,  $\forall$r $\in$ IQ

5. $\left(\vphantom{ \frac{a}{b}}\right.$${\frac{a}{b}}$$\left.\vphantom{ \frac{a}{b}}\right)^{r}_{}$ = ${\frac{a^{r}}{b^{r}}}$ ,  $\forall$ r $\in$ IQ.

Mostremos como ejemplo la propiedad 2: Si r = ${\frac{m}{n}}$ y s = ${\frac{p}{q}}$, con n > 0 y q > 0, tenemos que

$\left(\vphantom{ a^{r}}\right.$ar$\left.\vphantom{ a^{r}}\right)^{s}_{}$	= $\left(\vphantom{ \sqrt[n]{a^{m}}}\right.$$\sqrt[n]{a^{m}}$$\left.\vphantom{ \sqrt[n]{a^{m}}}\right)^{\frac{p}{q}}_{}$ = $\sqrt[q]{\left( \sqrt[n]{a^{m}}\right) ^{p}}$
	= $\sqrt[q]{\sqrt[n]{a^{mp}}}$ = $\sqrt[qn]{a^{mp}}$
	= a${\frac{mp}{qn}}$ = ars.

El único paso que no está aún justificado es la igualdad $\sqrt[q]{\sqrt[n]{a^{mp}}}$ = $\sqrt[qn]{a^{mp}}$. Para demostrar esto sean b = a^mp y c = $\sqrt[q]{\sqrt[n]{b}}$. Entonces c^q = $\sqrt[n]{b}$, y por lo tanto $\left(\vphantom{ c^{q}}\right.$c^q$\left.\vphantom{ c^{q}}\right)^{n}_{}$ = b. Por la propiedad 2 para exponentes enteros tenemos que c^qn = b, y esto significa que c = $\sqrt[qn]{b}$ = $\sqrt[qn]{a^{mp}}$.

Ejemplo 3.3.1   Resolver la ecuación x^{${\frac{2}{3}}$} - 3x^{${\frac{1}{3}}$} + 2 = 0. Tomando t = x^{${\frac{1}{3}}$} tenemos t² - 3t + 2 = 0, y resolviendo se obtiene t $\in$ $\left\{\vphantom{ 1,2}\right.$1, 2$\left.\vphantom{ 1,2}\right\}$. Luego, la solución es x $\in$ $\left\{\vphantom{ 1,8}\right.$1, 8$\left.\vphantom{ 1,8}\right\}$.

Ejemplo 3.3.2   Resolver 4^x - 2^{x + 1} + 1 = 0. Tomando t = 2^x tenemos 4^x = 2^2x = t², 2^{x + 1} = 2 ^. 2^x = 2t, así que la ecuación es t² - 2t + 1 = 0, y entonces t = 1. Luego la solución es x = 0.

Concluimos este capítulo demostrando que la función f : IQ $\rightarrow$ IR, definida por f$\left(\vphantom{ r}\right.$r$\left.\vphantom{ r}\right)$ = a^r, es estrictamente creciente en IQ, para a > 1. Esto es

a^r < a^s si r < s, con r, s $$\in$$ IQ.

En efecto, para n $\in$ IN y b > 0 tenemos

bⁿ > 1 si y solo si b > 1,

por ser f$\left(\vphantom{ x}\right.$x$\left.\vphantom{ x}\right)$ = xⁿ estrictamente creciente. Luego, si s - r = ${\frac{m}{n}}$ > 0, podemos asumir que m, n $\in$ IN, así que a^m > 1. Ahora, como b = a^{s - r} = a^m/n satisface bⁿ = a^m > 1, concluimos que b > 1. Finalmente

a^s = a^ra^{s - r} = a^rb > a^r, si r < s.

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