Considere las
sucesiones
Entonces
yn =
1 + 
xn > xn, para todo
n
IN. Además
 |
= =    1 +   |
|
= 1 -   > 1 -    |
|
= > 1, |
para todo
n
IN. En el segundo renglón, hemos hecho uso de la
desigualdad de Bernoulli, con
x = -
> - 1. Esto demuestra que
la sucesión
xn
es creciente. Similarmente se
demuestra que la sucesión
yn
es decreciente. En
efecto, el lector puede verificar que
En particular se tiene
2 = x1 < xn < yn < y1 = 4,
así que ambas sucesiones son acotadas. Por el teorema de Weierstrass
xn
es convergente, y podemos definir
Para el cálculo de derivadas, necesitamos tomar el límite no solo
sobre naturales, sino sobre los reales.
Teorema 8
Para el número
e que acabamos de definir se tiene:
Prueba
Tomemos
x
IR y definamos n = [x]. Tenemos entonces
n
x < n + 1,
y consecuentemente
Luego
y como
se tiene
Por otro lado, dado que
0
x - [x] < 1, se tiene
y por el teorema del emparedado
Finalmente
Ejemplo 4.5.1
Calcular
Tenemos
y por las propiedades de límites se concluye que