En esta sección motivamos la
definición del número e que daremos en la siguiente. Si el lector no
está familiarizado con la noción de derivada, puede pasar directamente
a la sección 4.5.
Sea
g
x
= logax, y tratemos de derivar esta función en
x = 1. Tenemos
g

1

=


=


log
a
1 +
t
=

log
a
1 +
t
.
Asumiendo que existe el límite
tenemos
g
(1) = logae. En la próxima sección demostramos
la existencia de dicho límite. Aquí hemos usado además la
continuidad de la función logarítmica, lo cual es consecuencia de la
continuidad de la exponencial (ejercicio: demuéstrelo). En particular, si
a = e obtenemos
g
1
= logee = 1. En este caso la
función g se suele llamar el logaritmo natural,
o logaritmo neperiano,
y se una la notación
ln x = logex.
Tenemos entonces que para
g(x) = ln x se tiene
Para x > 0 arbitrario tenemos
g (x) |
= ln x =  =  ln 1 +   |
|
=   ln 1 +  =   = , |
donde hemos hecho el cambio
u =
, y usamos (4.3).
Tratemos ahora de derivar la función
f (x) = ex. Como f es continua,
haciendo el cambio t = eh tenemos
donde
g(x) = ln x. Luego, en general
Tenemos entonces
Nota: Esta propiedad es exclusiva de la función exponencial de
base e. En efecto, se puede demostrar que si una función satisface
f
= f, entonces
f
x
= Cex, para alguna constante C.